[Maths] Espaces vectoriels

[Flyingkiki]

Bonjour,
Au sujet des propriétés d'algèbre linéaire II,

Pour la propriété donnant la base comme famille libre de cardinal maximal : je ne vois pas comment on peut avoir une base de cardinal non maximal. Car la dimension est justement le cardinal d'une base de l'espace vectoriel, non ? Ou alors je pense que je ne saisis pas bien le sens de "maximal".
Et même question pour la génératrice minimale.

Pour le lemme 1, je ne vois pas bien l'égalité : [tex]F={F}^{'} \subset G[/tex], ou [tex]{F}^{'}[/tex] est la base qui complète [tex]F[/tex] pour qu'elle devienne génératrice, et tout ceci se passant dans [tex]G[/tex] la famille génératrice.

[erd]

Bonjour,
Au sujet des propriétés d'algèbre linéaire II,

Pour la propriété donnant la base comme famille libre de cardinal maximal : je ne vois pas comment on peut avoir une base de cardinal non maximal. Car la dimension est justement le cardinal d'une base de l'espace vectoriel, non ? Ou alors je pense que je ne saisis pas bien le sens de "maximal".
Et même question pour la génératrice minimale.

Pour le lemme 1, je ne vois pas bien l'égalité : [tex]F={F}^{'} \subset G[/tex], ou [tex]{F}^{'}[/tex] est la base qui complète [tex]F[/tex] pour qu'elle devienne génératrice, et tout ceci se passant dans [tex]G[/tex] la famille génératrice.

J'ai l'impression que c'est le terme "maximal" qui pose problème : dans la propriété que vous citez donnant les bases "comme familles libres de cardinal maximal" le terme maximal signifie que si on prend une famille libre [tex]\mathcal F[/tex] quelconque, il existe une base qui la contient. Elle est donc "plus petite" qu'une base et si on prend une famille libre qui contient un base, elle est nécessairement égale à cette base (sinon, le lemme 2 nous montrerait que cette famille serait liée).

Ainsi la notion de "maximalité" fait, pour être totalement rigoureux, référence à un ordre sur l'ensemble des familles, qui est tout simplement l'ordre d'inclusion :

[tex]\mathcal F \ls \mathcal G[/tex] si et seulement si [tex]\mathcakl F \subset \mathcal G[/tex].

Dans le lemme 1, il s'agit de montrer que si [tex]\mathcal F[/tex] libre est incluse dans [tex]\mathcal G[/tex] génératrice, il existe [tex]\mathcal F'[/tex] contenant [tex]\mathcal F[/tex] et incluse dans [tex]\mathcal G[/tex] telle que [tex]\mathcal F'[/tex] est libre et génératrice. On construit [tex]\mathcal F'[/tex] en disant que son cardinal réalise le maximum des cardinaux des sous-familles libres de [tex]\mathcal G[/tex] contenant [tex]\mathcal F[/tex]. Il s'agit alors juste de montrer que [tex]\mathcal F'[/tex] est bien génératrice. Le truc consiste alors à supposer, comme on l'a fait, qu'elle ne l'est pas et contredire sa maximalité.

[Flyingkiki]

Une question concernant la somme directe de plusieurs espaces.

Dans le TD12 (AL I), on avait vu que pour montrer que trois espaces étaient en somme directe, il était suffisant de montrer qu'il était deux à deux en somme directe.

Or dans le TD13 (AL II), on montre que cela n'est pas suffisant, et que l'on doit montrer : [tex]{F}_{i}\cap\sum_{j=1}^{i-1} {F}_{j}= {0}[/tex], où les F sont des sev d'un E-Kev.
On donne même un contre-exemple de trois ensembles en somme directe deux à deux, mais dont les trois ne sont pas en somme directe.

Quelle différence existe-t-il entre les deux ?
Merci !

[erd]

Non, pour montrer que trois sous-espaces vectoriels, disons [tex]:[/tex][tex]F_1[/tex], [tex]F_2[/tex] et [tex]F_3[/tex] sont en somme directe, il faut et il suffit de montrer que :
[tex]\left\{\begin{array}[l]\ F_1\cap F_2=\{0\}\\ F_3\cap (F_1+F_2)=\{0\}\end{array}\right.[/tex]
Une autre façon de dire, peut-être plus parlante, consiste simplement à montrer que les espaces [tex]F_1, F_2[/tex] et [tex]F_3[/tex] sont en somme directe si et seulement si l'application
[tex]\Phi : F_1\times F_2\times F_3 \longrightarrow F_1+F_2+F_3[/tex]
définie par : [tex]\Phi(x_1,x_2,x_3)=x_1+x_2+x_3[/tex]
est un isomorphisme ce qui revient encore à dire que [tex]\forall x\in F_1+F_2+F_3,[/tex] il existe un unique triplet [tex](x_1,x_2,x_3)\in F_1\times F_2\times F_3[/tex] tel que [tex]x=x_1+x_2+x_3.[/tex]

[Flyingkiki]

Ah oui en effet, la méthode de l'isomorphisme est très pratique ! Ca permet d'utiliser une autre propriété que celle de l'intersection nulle.
Merci pour ces précisions