Forum des C.P.G.E. du lycée Brizeux

Flyingkiki · Inscrit le: 06 Mar 2007 Messages: 181

Bonjour,
Au sujet des propriétés d'algèbre linéaire II,

Pour la propriété donnant la base comme famille libre de cardinal maximal : je ne vois pas comment on peut avoir une base de cardinal non maximal. Car la dimension est justement le cardinal d'une base de l'espace vectoriel, non ? Ou alors je pense que je ne saisis pas bien le sens de "maximal".
Et même question pour la génératrice minimale.

Pour le lemme 1, je ne vois pas bien l'égalité : $F={F}^{'} \subset G$ , ou ${F}^{'}$ est la base qui complète

pour qu'elle devienne génératrice, et tout ceci se passant dans

la famille génératrice.
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Killian Mouden
PCSI A (2007-2008)
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erd · Inscrit le: 31 Oct 2006 Messages: 1204

Flyingkiki · Inscrit le: 06 Mar 2007 Messages: 181

Une question concernant la somme directe de plusieurs espaces.

Dans le TD12 (AL I), on avait vu que pour montrer que trois espaces étaient en somme directe, il était suffisant de montrer qu'il était deux à deux en somme directe.

Or dans le TD13 (AL II), on montre que cela n'est pas suffisant, et que l'on doit montrer : ${F}_{i}\cap\sum_{j=1}^{i-1} {F}_{j}= {0}$ , où les F sont des sev d'un E-Kev.
On donne même un contre-exemple de trois ensembles en somme directe deux à deux, mais dont les trois ne sont pas en somme directe.

Quelle différence existe-t-il entre les deux ?
Merci !
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Killian Mouden
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erd · Inscrit le: 31 Oct 2006 Messages: 1204

Non, pour montrer que trois sous-espaces vectoriels, disons

,

et

sont en somme directe, il faut et il suffit de montrer que :
$\left\{\begin{array}[l]\ F_1\cap F_2=\{0\}\\ F_3\cap (F_1+F_2)=\{0\}\end{array}\right.$
Une autre façon de dire, peut-être plus parlante, consiste simplement à montrer que les espaces F_1, F_2

et

sont en somme directe si et seulement si l'application
$\Phi : F_1\times F_2\times F_3 \longrightarrow F_1+F_2+F_3$
définie par : $\Phi(x_1,x_2,x_3)=x_1+x_2+x_3$
est un isomorphisme ce qui revient encore à dire que $\forall x\in F_1+F_2+F_3,$ il existe un unique triplet $(x_1,x_2,x_3)\in F_1\times F_2\times F_3$ tel que x=x_1+x_2+x_3.

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Emmanuel Riboulet-Deyris
Professeur de mathématiques en classe préparatoire

Flyingkiki · Inscrit le: 06 Mar 2007 Messages: 181

Ah oui en effet, la méthode de l'isomorphisme est très pratique ! Ca permet d'utiliser une autre propriété que celle de l'intersection nulle.
Merci pour ces précisions Smile

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Killian Mouden
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