Quelques petites questions quant à l'étude d'une suite récurrente, et plus précisément sur l'exemple proposé : [tex] \left\{
\begin{array}{ll}
{U}_{o}=2\\
{U}_{n+1}=\frac{1}{2}({U}_{n}+\frac{3}{{U}_{n}})
\end{array}
\right.[/tex]
On étudie la monotonie, et lavec le tableau de variations on trouve [tex]f(x)-x[/tex] négatif dans l'intervalle où vit [tex]{U}_{0}[/tex]. Je n'ai pas très bien compris pourquoi l'on vérifie que [tex]f(x)-\sqrt{3}[/tex] soit positif (donc [tex]f(x)\geq \sqrt{3}[/tex]), et ce si [tex]x\geq \sqrt{3}[/tex].
Au final la suite est décroissante et minorée, elle converge tout va bien.
Donc sa limite est [tex]l=f(l)[/tex].
On trouve cette limite en disant que l est nécessairement supérieur à [tex]\sqrt{3}[/tex] et que ce [tex]\sqrt{3}[/tex] est la seule solution de [tex]x=f(x)[/tex] sur cet intervalle. Cela est vrai tout le temps si l'on a bien fait son tableau de variations ? Peut-on utiliser cela pour prouver l'unicité de la limite de convergence ? (je crois que l'on a déjà posé cette fois mais je ne suis pas sûr).
Merci
