[MATHS] exo 6 partie III de la feuille 14

[erd]

Attention, il faut supposer que [tex]f(a)=f(b)=0.[/tex]

L'idée consiste à exhiber une fonction construite à l'aide de [tex]f[/tex] deux fois dérivable qui passe trois fois par 0. Ainsi deux application du théorème de Rolle donneront l'annulation de la dérivée seconde (pourquoi ?).

La fonction à considérer est la suivante :
[tex]\ds\varphi(x) = f(x)-\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}f(c)[/tex]

Ainsi [tex]\varphi(a)=0, \varphi(b)=0[/tex] et [tex]\varphi(c)=f(c)-f(c)=0.[/tex]

D'où le résultat en dérivant deux fois.