Forum des C.P.G.E. du lycée Brizeux

de **Cousin Machin** » Lun 07 Juil, 2008 5:17 pm

Maths I:

Exo 1 :

$E = {M}_{n}({\RR}^{})$
$\forall A \in E$ , on note $A = {({a}_{ij})}_{1\leq i,j \leq n}$ .
On pose $\varphi (A) = \sum_{j=1}^{n} {a}_{nj}$
$\theta (A,B) = Tr({}^{t} A.B)$

1) $\theta$ est-elle un produit scalaire?

2) Montrer que $\varphi$ est une forme linéaire.

3) Montrer(sans calcul) que $\forall A \in E, \exists S \in E, \varphi (A) = \theta (S,A)$ .
Calculer S.

4) On pose $f (X) = X + \varphi (X).{I}_{n}$ , $\forall X \in E.$
Montrer que

est linéaire. Ker

?

Exo 2 :

Déterminer l'ensemble des $z \in \CC$ tels que ${z}^{}$ , ${z}^{2}$ , et ${z}^{5}$ soient alignés.

Représenter cet ensemble dans le plan complexe.

de **Cousin Machin** » Lun 07 Juil, 2008 5:27 pm

Maths II (avec Maple):

Soit

une fonction paire, 2 $\pi$ -périodique, telle que $\forall x \in [0 ; \pi]$ , f (x) = 2ch(x)

.

1) Représenter

sur $[-3\pi ; 3\pi]$ .

2) A partir des caractéristiques de la fonction, que peut-on dire sur sa série de Fourrier?

3) Exprimer sa série de Fourrier.

4) Faire apparaitre graphiquement son évolution vers

.

(Planche incomplète, je n'ai pas eu le temps d'aborder les deux questions restantes)

de **Cousin Machin** » Lun 07 Juil, 2008 6:00 pm

Physique-Chimie:

Exo 1 :

Une onde sonore se propage selon l'axe Ox dans un fluide de masse volumique ${\mu}_{0}$ , de pression ${P}_{0}$ .
On pose ${\chi}_{S} = -\frac{1}{V} {\left( \frac{\partial V}{\partial P}\right)}_{S}$ .
Vitesse des particules : u(x , t)

.
Surpression : p (x , t)

1) Justifier le fait qu'on puisse supposer une évolution isentropique.

2) Donner les équations aux dérivées partieles respectées par

et

.
Exprimer la célérité de l'onde

.
Dans le cas de l'air, exprimer

en fonction de ${\mu}_{0}$ , la constante de Laplace $\gamma$ , la masse molaire

.

3) Application numérique dans le cas de l'air, et de l'eau(On donnait le ${\chi}_{S}$ de l'eau). Conclusion.

4) On donnait un graph annimé sur maple représentant la propagation de l'onde. Fallait en déduire le profil de la température T (x)

.

Exo 2 :

On donne ${E}^{0} ({Cu}^{2+} / {Cu}^{})$ , ${E}^{0} ({Cu}^{2+} / {Cu}^{+})$ , ${E}^{0} ({I}_{2} / {I}^{-})$ , et ${E}^{0} ({S}_{2} {{O}_{8}}^{2-}/ S{{O}_{4}}^{2-})$ .
On donne aussi le ${K}_{S}$ de ${CuI}_{(s)}$ .

1) ${I}^{-}$ peut-il réduire ${Cu}^{2+}$ ?

2) On étudie la réaction $2{I}^{-} + {Cu}^{2+} \rightarrow CuI + \frac{1}{2} {I}_{2}$ .
Expliquer cette réaction. Déterminer sa constante d'équilibre. Conclusion.

3) On effectue un dosage de ${I}_{2}$ par ${{SO}_{4}}^{2-}$ .
Ecrire la réaction mise en jeu. Expliquer le protocole du dosage.

4) Application : Volume initial de solution ${V}_{0}$ donné, on dose avec une solution de ${{SO}_{4}}^{2-}$ concentration

donnée. La coloration disparait pour un volume versé ${V}_{eq}$ donné.
Déterminer le titre massique initial en ${I}_{2}$ .

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[Sujets 2008] oraux Centrale-Supelec

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