Forum des C.P.G.E. du lycée Brizeux

de **cedric** » Ven 09 Juil, 2010 9:07 pm

oral de math

Soit n>0

et $A\in{M}_{n}(\Re)$ .
On considère l'application $f:M\in{M}_{n}(\Re)\rightarrow -M+ Tr(M)A$
1) Montrer que f est linéaire.
2) On suppose que $Tr(A)\neq 1$ mq f est bijectif
3) On Suppose que Tr(A)= 1

. Montrer successivement que :

- ker(f)=Vect(A)

- $Im(f)=\{M\in{M}_{n}(\Re),Tr(M)=0\}$

4) Soit B dans Mn de R résoudre f(X)=B.
5)calculer la trace de f.
En déduire que f est diagonalisable si et seulement si Tr(A) différent de zéro.

Exo 2

Soit n>0

, ${I}_{n}=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+{x}^{n}}$
Existence et limite de In uand n tend vers + l'infini.

Puis $\lim_{n\rightarrow\infty}(n({I}_{n}-1))$

Voilà j'ai pas eu le temps de chercher la fin de la question 5 du coup on est passé à l'exo 2 très rapide.

de **mroger** » Ven 09 Juil, 2010 9:37 pm

Merci : avec quatre planches de maths tu es celui qui a le plus participé à ce post. Bon boulot, les vacances et une bonne école sont à la clé.
:peche:

de **Toxine** » Lun 12 Juil, 2010 5:24 pm

oral de CCP

Exo avec préparation:
soit une fonction $u:\Re\rightarrow\Re$ , $2\pi$ -périodique
$\forall x\in[-\pi;\pi[$ , u(x)=x
soit $n\in\aleph*$

1) donner l'allure de la fonction u
2) montrer que $\int_{0}^{\pi}u(x)sin(nx)dx= {(-1)}^{n+1}\frac{\pi}{n}$
3) montrer que $\sum_{n=1}^{+\propto}\frac{1}{{n}^{2}}= \frac{{\pi}^{2}}{6}$

$\forall x\in]0;1[, {f}_{p}(x)= \frac{{x}^{2p+1}lnx}{{x}^{2}-1}$
4) montrer que ${f}_{p}$ peut être prolongée par continuité
5) on définit ${I}_{p}= \int_{0}^{1}{f}_{p}(x)dx$
calculer ${I}_{p+1}-{I}_{p}$
déterminer la limite de ( ${I}_{p}$ )
autre question que je ne me souviens plus
6) déterminer la nature de
$\sum_{}^{}{I}_{p}$ et de $\sum_{}^{}{(-1)}^{p}{I}_{p}$ il me semble

Exo sans préparation:
$E={\Re}^{n}$ , $x\in$ E, $\left|\left|x \right| \right|=1$ , $X= \begin{pmatrix} {x}_{1} \\ ... \\ {x}_{n} \end{pmatrix}$ dans la base canonique de E
soit F un endomorphisme de E muni du produit scalaire tel que ${[F]}_{E}= A$ et $A={X}^{t}X$

1) montrer que F est un endomorphisme symétrique
2) déterminer Im(F) et Ker(F)

de **mroger** » Lun 12 Juil, 2010 5:34 pm

Merci !
Pour la question 5 il s'agissait peut-être de la convergence simple de la suite de fonctions (f_p)

, ou encore de la convergence de la série de fonctions $\sum f_p$ .

Encore du classique, en tout cas, et même pas de conique

de **P-E** » Lun 12 Juil, 2010 7:20 pm

Oral CCP:

Exo avec préparation

On définissait, $\forall n \in \NN,u_n=\bigsum_{i=1}^{n-1} \lp{\frac{i}{i+1}}\rp^n$
Le but de l'exercice était de prouver que $u_n \sim n \int_0^1 e^-\frac{1}{t} dt$

1) a) Prouver l'existence de $\int_0^1 e^-\frac{1}{t}dt$

b) Prouver que $ln x\leq1-x$ sur R^+_*

2) a) Prouver que $\ds\lim_{n \to {+\infty}}ne^{nln\lp{1-\frac{2}{n}}\rp}=+\infty$

b) Soit $v_n=\int_2^n \lp{1-\frac{1}{x}}\rp^n dx$

Prouver que, $\forall n\geq4, v_n \geq \int_\frac{1}{2}^1 n\lp{1- \frac{1}{nt}}\rp^n dt$

En déduire que $\ds\lim_{n \to {+\infty}}v_n=+\infty$

c) Montrer l'encadrement suivant : $\int_1^n \lp{1-\frac{1}{x}}\rp^n dx \leq u_n \leq \int_2^n \lp{1-\frac{1}{x}}\rp^n dx + \lp{1-\frac{1}{n}}\rp$
( plus très sûr de l'encadrement.. )

3) Pour la suite on introduisait une suite w_n

définie également à l'aide d'une intégrale (dont je ne me souviens plus ), et il fallait prouver que w_n - u_n

était égal à une certaine expression

Puis il y avait une deuxième sous question, et le 4) était "Conclure"

Exercice sans préparation

Soit le polynome P suivant : $P(X)=nX^n - (n+2)X^{n+1} + (n+2)X - n$

Il fallait trouver le reste de la division euclidienne de P par (X-1)^3

et par

( plus très sûr pour le deuxième ).. et toujours pas de côniques

de **mroger** » Lun 12 Juil, 2010 9:50 pm

Merci,

pour la 2c, ça doit être très proche : on encadre :
$((k-1)/k)^n=(1-1/k)\le \int_k^{k+1}(1-1/x)dx\le (1-1/(k+1))=(k/(k+1))^n$
puis on fait la somme pour k allant de 1 à n avec l'inégalité de droite, et pour k allant de 2 à n+1 avec l'inégalité de gauche.

En ce qui concerne l'exercice, exprimer le reste à l'aide de la base (1,X-1, (X-1)^2)

de $\mathbb{R}_2[X]$ pouvait simplifier les calculs.

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Voilà une planche qui n'utilise pas franchement le programme de spé, et pas non plus les coniques

de **cedric** » Mar 13 Juil, 2010 8:37 pm

mroger a écrit: Bon boulot, les vacances et une bonne école sont à la clé.

Pas encore j'ai encore mines pont demain (math) ... puis jeudi(physique) puis vendredi (TP de chimie) !

de **mroger** » Mar 13 Juil, 2010 9:17 pm

Tout de même, ça sent la fin !

de **cedric** » Mer 14 Juil, 2010 5:28 pm

dernier oral de math : Mines pont sans préparation pour la durée j'ai pas fais attention.

$\forall n \in N$ ${I}_{n} = \int_{0}^{\pi}{x}^{n}*sin(x)dx$

Donner une relation de récurrence simple vérifié par In. Puis étudier la suite ${{I}_{n} }^{\frac{1}{n}}$ .

Deuxième exo:

On a une ellipse d'équation
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$
Soit M un point de la conique et D la droite normale à la conique.
Déterminer où la distance de la droite D à l'origine est maximale.

Voilà j'ai fini l'exo 1 mais par contre le deuxième j'ai quasiment rien fait (j('ai juste donner l'équation cartésienne de la droite D mais sa avait pas l'air de servir)

de **mroger** » Mer 14 Juil, 2010 6:12 pm

Et voilà les coniques ! Avec un dessin, un vecteur directeur de la normale, l'expression de la distance d'un point à une droite (géométriquement, on lit la formule) on s'en sort en peu de calculs.

Pour les maths c'est fait.

de **koukette29** » Lun 19 Juil, 2010 2:19 pm

Bonjour à tous !
Voilà mon sujet de math de ccp:
Exercice majeur:
phi :-> 2M+tM (transposée) ( de Mn(R) dans Mn(R))

1- Montrer que phi(phi(M))=4phi(M)-3M
en déduire que phi est diagonalisable
2- Valeur propre et sous espace propre
3- Det(phi),tr(phi), chi(phi)
4- psia,b :M -> aM+btM
1) condition nécéssaire et suffisante pour que \psia,b soit inversible
2) quelque chose avec un produit scalaire

Exercice mineur:
a complexe / |a|<1
Un+1=Un/(2-Un)

1-Montrer que : Un est bien définie
2- Montrer que |Un|<1
3- lim Un

de **mroger** » Lun 19 Juil, 2010 2:42 pm

Merci. Encore une planche faisable dès la sup (à part peut-être la question perdue sur le produit scalaire ?).

Bonnes vacances

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