Forum des C.P.G.E. du lycée Brizeux

de **mroger** » Jeu 03 Juin, 2010 7:45 am

Chers PC,

Vous pourrez déposer ici vos sujets respectifs d'oraux de MATHS avec le format ci dessous. Essayez de prendre des notes juste en sortant de l'oral (2 minutes suffisent) avant de vous reconcentrer sur l'oral suivant. Ce travail est très utile pour vous tous : faites-le !

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Type d'oral (Centrale Maths 2, Navale, CCP, ...)

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Exercice(s) à préparer :

Sujet le plus précis possible, et la durée d'interrogation

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Exercice(s) sans préparation :
idem, vous pouvez abuser des symboles $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}, \int_0^1, \mathbb{R}[X], \frac{\partial f}{\partial x},...$

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Vos commentaires éventuels
:grrr:

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de **JNO** » Jeu 03 Juin, 2010 8:43 am

Pareil en phys !

de **Nicolas PERROT** » Jeu 24 Juin, 2010 5:19 pm

Oral CCP :

Exercice à préparer :
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie.
Soit ${A}_{k}$ l'espace des endomorphismes u de E tels que u²=ku.
1) Cas E= ${R}^{3}$ , A matrice associée à l'endomorphisme u,
A= $\begin{pmatrix} 3 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$
u appartient-il à ${A}_{k}$ ? Dans ce cas, déterminer k.
Déterminer une base du noyau, le rang de u, une base de l'image.
Sans calculer le polynôme caractéristique, montrer que u est diagonalisable et trouver son spectre.
2) Retour au cas général.
u peut-il être bijectif ? Que peut-on dire de u dans ce cas ?
Si k $\neq$ 0, quelle est l'image de x $\in$ E par le projecteur sur Im(u) et de direction ker(u) ?
Si k=0, qu'a-t'on pour ker(u) et Im(u) ?
3) Soit v endomorphisme de E tel que rg(v)=1
(question sur l'appartenance à ${A}_{k}$ + question oubliée car non fait)

Exercice au tableau :
Nature de la série de terme général ${u}_{n}=\frac{1+{(-1)}^{n}{n}^{\alpha}}{{n}^{2\alpha}}$ en fonction de ${\alpha}$

de **mroger** » Jeu 24 Juin, 2010 9:22 pm

Merci Nicolas.

L'exercice d'algèbre linéaire est très classique et balaye beaucoup de notions : définitions de rang, noyau, base, utilisation d'un polynôme annulateur simplement scindé pour montrer la diagonalisabilité (ici $P=A^2-k\ A$ est annulateur de

, projecteurs.

Pour la série, le cas $\alpha>1$ se traite aisément en remarquant que $u_n=O\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$ . Pour le cas $\alpha\in]0,1]$ on peut utiliser le critère spécial des séries alternées (attention, la suite n'est alternée qu'à partir d'un certain rang, qui dépend de $\alpha$ .
Pour le cas $\alpha\leq 0$ la série est grossièrement divergente.

Comme souvent sur CCP, on vous teste sur la maîtrise des résultats du programme : pas d'astuce insurmontable ni d'excès de technicité.

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Bon courage à vous tous pour les oraux, je croiserai peut-être certains d'entre vous à Paris : je compte aller voir quelques oraux de CCP et Mines d'ici le 2 juillet. Je serai peu joignable par mail avant le 4 juillet.

de **cedric** » Ven 25 Juin, 2010 5:22 pm

oral petite mines :

math : 20 minutes de préparation

1) $U=\begin{pmatrix} {u}_{1} \\ . \\.\\.\\ {u}_{n} \end{pmatrix} \right)\in{M}_{n,1}(\Re)$ tel que $\sum_{i=1}^{n}{{u}_{i}}^{2}=1$
montrer que la matrice $A={I}_{n}-2.{U}^{t}U$ est orthogonale et déterminer l'automorphisme associé à U

2)Soit $A=\left({a}_{ij} \right)\in{M}_{n}(\Re)$ orthogonale, montrer : $\left|\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{a}_{ij} \right| \leq n$ (je suis plus trop sûr de l'énoncé).

On choisit un seul exo à préparer mais on peut quand même avoir des questions sur l'autre à la fin

de **cedric** » Dim 27 Juin, 2010 1:44 pm

oral ENSEA/ENSIEE
25 minutes de préparation (au tableau pendant que le candidat précédent passe)
Soit $A=\begin{pmatrix} 0 & ...&0 & 1 \\ . &...&.&.\\ . &&.\\ 0 &...&0&.\\ 1&... &1& 1 \end{pmatrix}\in {M}_{n}(\Re)$
1)quel est le rang de A
2) montrer que A est semblable à la matrice diagonale $\begin{pmatrix} 0 & & & \\ &.&(0)&\\ &&.&\\ &(0)&\lambda&\\ & && \mu \end{pmatrix}\$
avec $\lambda , \mu\in\Re$
3)exprimer $\lambda + \mu$ et ${\lambda}^{2}+{\mu}^{2}$ (on pourra calculer ${A}^{2}$ )
4) Trouver lambda et mu

exercice 2 sans préparation

étude de $f(x)=\int_{x}^{2x} \frac{dt}{\sqrt[]{1+{t}^{4}}}$ parité, variation et limite.

de **mroger** » Dim 27 Juin, 2010 7:10 pm

CCP :

Planche 1 : $a_n=\int_0^1((1+t^2)/2)^n dt$ , étude de limite, de la convergence simple de la suite $f_n:t\mapsto ((1+t^2)/2)^n$ , de la série $\sum (-1)^n a_n$ (pas de cvn, indication : avec des sommes partielles); exo : $A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$ : valeurs et vecteurs propres, puis nature de la courbe d'équation x^2-2xy+y^2+9x-6y+3=0

Planche 2 : un exercice sur une application f vérifiant
$\forall x,y, (f(x),y)=-(x,f(y))$

Montrer que s=f\circ f est une symétrie, puis un travail sur les valeurs propres.

exo : $f : x\mapsto \int_x^{2x}e^{-t^2}dt$ : étude de fonction.

Planche 3 : idem planche 2

exo : $y\prime\prime-2y\prime+y=ch(t)$ à résoudre.

Planche 4 : limite de $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n}$ (sommes de Riemann). Montrer que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln n=\frac{a}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})$ pour un

à déterminer

exo : $<P>=\sum_{i=1}^{p}P(x_i)Q(x_i)$ , avec des x_i

2 à 2 distincts. Montrer que cela définit un produit scalaire sur R_n[X]

ssi

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Bref du classique et un exo de conique !

de **Flyingkiki** » Dim 27 Juin, 2010 10:17 pm

Oraux CCP

Exercice à préparer :

Soit P le polynôme ${X}^{p}-\sum_{k=0}^{p}{a}_{k}{X}^{k}$ .
Soit A la matrice : $\begin{pmatrix} 0 & . . . & 0 & 0&0 & {a}_{1} \\ 1 & 0 &...& 0 &0& {a}_{2} \\ 0 & 1 & 0 & ...&0& {a}_{3} \\ .&.&.&.&.\\ .&.&.&.&.\\ 0&...&0&1&0&{a}_{p-1}\\ 0&...&0&0&1&{a}_{p} \end{pmatrix}$

On la nomme la matrice compagnon de P (ça a le mérite d'être une notation sympa et de faire sourire le candidat :mrgreen:

).

1/ Soit ${L}_{i}$ la i-ème ligne de la matrice $A-\lambda{I}_{p}$ , calculer : ${L}_{1}-\sum_{i=2}^{p}{\lambda}^{i-1}{L}_{i}$
Donner sa décomposition dans la base canonique de ${R}^{p}$ .

2/ En déduire que ${\chi}_{A}={(-1)}^{p}.P$ .

3/ Soit E un espace vectoriel de dimension n. Soit f un endomorphisme de E. Soit x un élément de E. Montrer qu'il existe p(x) dans [0, n-1] telle que ${\left({f(x)}^{k} \right)}_{k=0..p(x)}$ est libre et ${\left({f(x)}^{k} \right)}_{k=0..p(x)+1}$ est liée.

J'ai du mal à me souvenir de la suite, je cherche je cherche :oops:

Exercice "instantané"

Soit F(x,y)=f(xÂ²-yÂ²,2xy)

, avec x et y deux réels.
Montrer que si $\Delta(f(x))=0$ , alors $\Delta(F(x))=0.$ .

La notation $\Delta(f(x))$ désignant la somme des dérivées partielles par rapport à x et y.

Voilà

de **R. Validire** » Lun 28 Juin, 2010 10:10 pm

Oraux CCP (enfin ce qu'il m'en reste...)

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Planche 1

Limites en

et $+\infty$ de la fonction $\varphi_n$ définie par $\varphi_n(x)=(e^{ix}-1)x^{\frac{1}{n}-1}$
(avec questions intermédiaires pour obtenir une majoration du module de la fonction).

Exercice
Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^{2n} + X^n +1$ par $X^{2} + X +1$ .
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Planche 2

Etude d'une courbe paramétrée rationnelle avec un point singulier.

Exercice
Soit $(a,b,c)\in \mathbb C^3$ non tous nuls.
La matrice $M=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & b\\0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ est-elle diagonalisable ?

Calculer M^n

.
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Planche 3
Le déterminant de Vandermonde (la méthode faisant intervenir un polynôme).

Soit E un espace de dimension n et deux endomorphismes f et g qui commutent.
Montrer que si f a n valeurs propres distinctes alors f et g sont simultanément diagonalisables.

Exercice

Montrer que $\displaystyle{ \int_0^1\frac{ln(1+x)}{x}\,dx = \sum_{n\geq 1}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2} }$
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Planche 4
Etude de l'équation fonctionnelle :
$\forall (x,y)\in (\mathbb R_+^*)^2,\ f\left(\frac{2xy}{x+y} \right) = \frac{1}{2}\left(f(x) + f(y) \right)$ où f est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ ...
Avec quelques questions intermédiaires.

Exercice
Etude d'une matrice $3\times 3$ (trigonalisable et non diagonalisable... en fait nilpotente).

de **cedric** » Mar 29 Juin, 2010 8:09 pm

oral centrale

exercice 1

DSE de arctan(1+x)

exercice 2

a dans R, I=[a,+infini[ soit $\varphi$ une fonction continue et intégrable sur I
On considère l'équation différentielle :
$y\prime\prime + y = \varphi$
Soit y une solution de $\varphi$ . Montrer qu'il existe un unique couple $\left(A,B \right)\in {C}^{1}(I,\Re)$ tel que :
$\forall x\in\Re \;\:y(x)=A(x)cos(x)+B(x)sin(x)\:\,et\:\: y\prime(x)=-A(x)sin(x)+B(x)cos(x)$
2)En déduire qu'il existe $\left(C,D \right)\in\Re$ tel que
$y(x)=C*cos(x)+D*sin(x)+\int_{x}^{+\infty}sin(t-x)*\varphi(t)dt$
3)
4)
5)
Je ne me souviens plus des question 3 à 5 parceque je ne l'ai pas traité :/ mais on définissait une fonction G a l'aide d'une intégrale et on voulait montrer qu'elle était de classe C2 et de qu'elle vérifié l'ED.

Voilà j'ai réussi le DSE et les 2 première question de l'exo 2 mais l'aide était vraiment minimal

de **mroger** » Mar 29 Juin, 2010 8:15 pm

Merci Cédric. Tout traiter n'est pas nécessaire pour obtenir une note honorable ! Et effectivement sur centrale, certains jurys sont peu loquaces. Aux mines ils indiquent un peu plus - mais posent des questions de cours au passage (ex : donner toutes les CNS assurant la diagonalisabilité d'une matrice, ex : rappeler tous les résultats d'interversion série intégrale).

de **cedric** » Mar 29 Juin, 2010 8:22 pm

Oral TPE

exercice 1

$x(t) &= r*{cos}^{3}(t) \\ y(t) &= r*(sin)^{3}(t)$
avec r>0

1)étudier les symétries
2) Tracer la courbe
3) Déterminer le périmètre de la courbe
4) déterminer l'aire à l'intérieur de cette courbe

exercice 2

Trouver les points de $S: y=x*{e}^{x}+y*{e}^{y}$ pour lesquels le plan tangent est de cote constante (c'est à dire z=cste)

Rien de bien dur, un deuxième exo finissable en 2-3minute. Pour le deuxième le seul problème est que l'examinateur n'a pas aimé mon étude de fonction qui n'était pas propre.
J'avais déjà eu cette fonction en colle avec M Le Roux alors j'ai voulu allé (trop) vite.
Sinon il faillait ce souvenir de Green-Riemann ...

de **Bigloaw** » Jeu 01 Juil, 2010 3:44 am

Je me souviens pas exactement de l'exercice mais c'était resoudre l'equation différentiel y'-y=0 puis y'-y=1/x (E) dans un premier temps, puis étudier l'intégrale $f(x)=\int_{+\infty}^x e^{-t}/t dt$ et en déduire l'existance d'une solution unique finie lorsque x tend vers plus l'infinie.
Ensuite on définissait une application dans un plan euclidien qui a un couple (x,y) l'application fm associe y=x avec y la solution de (E). Et fallait montrer que c'etait bien une définit et à partir de la découlait des questions assez classique, enfin les dernières questions parlait de point d'inflexion et autres.

L'exercice posé ensuite était une matrice 4.4 triangulaire supérieure appartenant a Mn( C) avec un coefficient complexe a. Et selon a dire si elle était diagonalisable ou non.

de **cedric** » Jeu 01 Juil, 2010 9:13 pm

oral centrale

math 2 (le dernier !)

On dit qu'une matrice A est à diagonal dominante si
$\forall i \in\left[1,n \right]\; \left|{a}_{ii} \right|>\sum_{j\neq i}^{n}\left|{a}_{ij} \right|$

1) Montrer que A est inversible
2) On définit : $\sigma(A)=\sum_{j=i}^{n}\left|{a}_{ij} \right|$ et $\forall j \in \left[0,i \right]$ on a $\sigma(A)=0$

On pose $A=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 1+i & 1 \\ 1+i & 2+2i & 1 & 0 \\ 0 & i & 3+i & 1-i \\ i & 0 & 2 & 3-i \end{pmatrix}$ (si je me souviens bien.
Montrer qu'elle est diagonale dominante.
On effectue un pivot 4,4 sur la matrice A (c'est à dire on a que des 0 sur la dernière colonne sauf a la 4e ligne 4e colonne). Montrer que cette nouvelle matrice est a diagonale dominante.

3) Monter que ce résultat est vrai dans un cas général.
4)
5)

Les questions 4 et 5 on utilisé sigma(A). Et pour les calcul sur les matrices on pouvait utiliser maple aucune procédure, mais le sujet m'a pas plus du tout ...

de **Lynn** » Lun 05 Juil, 2010 3:08 pm

ORAL ICNA

exercice 1:

Soit f, la fonction définie sur R² par:
$f(x,t)=\frac{e^{-tx^2}}{1+xÂ²}$

a) montrer que la fonction x -> f(x,t) est intégrable sur R+, pour tout t appartenant à R+. On défnit ainsi sur R+, la fonction $F(t)=\int_0^{+\infty} f(x,t) dx$

b) prouver que f est continue sur R+, et de classe C1 sur R*+

c) en déduire l'expression de F à l'aide de la fonction de Gauss $\Theta(t)= \frac{2}{\sqrt[]{\Pi}} \int_{1}^t e^{-v^2}dv$

exercice 2:

on considère A :
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
1. soit R^3 l'Ev muni de sa base canonique et f, l'endomorphisme de R^3 de matrice A dans cette base
a) déterminer le rang de f
b) prouver que 0 est Vp d'ordre 2 de f
c) f est-elle diagonalisable?

2. calculer A² puis retrouver le résultat de 1.c)

Forum des C.P.G.E. du lycée Brizeux

[Maths] [Oraux] Saison 2010 : just post it

[Maths] [Oraux] Saison 2010 : just post it

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