PC-maths-le cahier de texte 2009-2010

Chapitre 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires

Famille libre, génératrice, sommes directes.

ex 1 à chercher pour le 03.09
Télécharger la feuille de TD du chapitre 1

Sous-espaces supplémentaires. Cas de la dimension finie. Projecteurs. Base adaptée à une décomposition en somme directe. Application linéaire, image, noyau, isomorphisme entre un supplémentaire du noyau et l'image.

ex 1, 2.1

Interpolation de Lagrange. Equations linéaires. Formes linéaires et hyperplans. Equations d'hyperplans en dimension finie. Correction DM1
ex 4.1,4.2, 6, 9; à chercher pour le 08.09 : 7, 8.1, 13

td : ex 7, 8, 13, 15, 17, 20

Equations d'hyperplans en dimension finie. Trace d'un endomorphisme. ex 15

td ex 12, 16

Formes n-linéaires alternées. Déterminant relativement à une base. Déterminant d'un endomorphisme.

Déterminant d'une matrice carrée. Propriétés. Opérations sur les lignes et les colonnes.

ex 2, 4, 7

Feuille d'exercices du chapitre 3 :
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Déterminants par blocs. Déterminant de matrices semblables.

ex 8, 9, 11, 10, 12, 16.2

Programme de colle de la semaine prochaine :
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Application du déterminant aux systèmes linéaires. Orientation du plan ou de l'espace. ex 16.1, 23, 12, 14, 15

TP Maple : Suites et séries numériques.

td Déterminants : ex 21, 22, 17, 6, 15

télécharger le DM 4

chpaitre 5 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Sous-espaces stables. Vecteurs propres, valeurs propres, et sous-espaces propres des endomorphismes. Diagonalisabilité d'un endomorphisme.

TP Maple (gpe 1) : Calcul matriciel et vectoriel.

TD : introduction à la réduction en dimension 2.
télécharger le TD d'introduction à la réduction

Exercices 1, 2, 3
télécharger la feuille de TD du chapitre 5

Eléments propres et diagonalisabilité des matrices carrées. Polynômes d'endomorphismes. Polynôme annulateur. Polynôme caractéristique.

Exercices 3, 4.1, 7, 18

Polynôme caractéristique et éléments propres. Endomorphismes à polynôme caractéristique simplement scindé.

ex 11, 4.2, 6, 9

Programme de colle de la semaine prochaine :
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Polynôme annulateur simplement scindé et diagonalisabilité. Pratique de la réduction : diagonalisation et trigonalisation.

exercices 6.3, 6.4, 17

TP Maple (gpe 2) : Calcul matriciel et vectoriel.

TD : 17(fin), 19, 15, 16, 12

Systèmes linéaires et réduction. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 et 3 à coefficients constants.

exercices 13, 8, 20, 21, 22, 23

Chapitre 7 : Espaces préhilbertiens, espaces vectoriels euclidiens

Produits scalaires réels et hermitiens. Norme associée à un produit scalaire. Inégalité de Cauchy-Schwarz et de Minkowski. Identités de polarisation. Distance.

exercices 1, 10

Feuille d'exercices du chapitre 7 :
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Programme de colle de la semaine prochaine :
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Orthogonal d'un s.e.v.. Famille orthogonale. Supplémentaire orthogonal. Somme directe orthogonale.

Espaces euclidiens. Bases orthonormées. Expression de la norme, du produit scalaire et de la distance à l'aide d'une b.o.n.

TP 3 Maple (gpe 2) : Algorithmique et programmation

télécharger la feuille du TP3

Pour télécharger les procédures d'exponentiation rapide :
maple 9
maple 12

TD :
Exercices 9.2, 11, 12, 8, 13, 18

Représentation d'une forme linéaire sur un e.v.e. Projecteurs orthogonaux. Projeté orthogonal sur un s.e.v. de dimension finie. Projections orthogonales dans un espace de dimension finie. Distance à un sous-espace vectoriel de dimension finie.

Exercices 18, 19

Inégalité de Bessel.

Exercices 19(fin) 5, 6, 20, 14

Programme de colle de la semaine prochaine :
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Chapitre 12 : Réduction des endomorphismes symétriques

Automorphismes orthogonaux. Image d'une base orthonormale par un endomorphisme orthogonal. Ecriture matricielle. Réflexions.

exercice 1, 7, 9

télécharger la feuille de TD du chapitre 12

TD : exercices 1, 3, 12, 13, 9

Projecteurs orthogonaux.
Réduction des endomorphismes symétriques (et des matrices symétriques réelles) : Théorème fondamental.

exercices 8 9c, 15

démonstration du Théorème fondamental.

exercices 10, 11a

Programme de colle de la semaine 15 :
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Equations réduites de coniques et quadriques. Recherche d'un éventuel centre de symétrie. Utilisation de la diagonalisation d'une matrice symétrique réelle pour obtenir les équations réduites.

Exercices 5, 16

TP 5 Maple (groupe 1) : coniques, quadriques et révisions d'algèbre linéaire.

Télécharger le fichier .mws de quadriques :
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Enoncé TP 5 :
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TD : exercices 19, 18, 4a, 4n, 2 (chap 12)

Primitivation et dérivation de développement limité vectoriel.

exercices : étude de la cycloïde à l'aide de développements limités vectoriels. Cardioïde.

Programme de colle de la semaine 17 :
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