PC-maths-le cahier de texte 2009-2010

Chapitre 2 : Séries numériques

Rappels sur les suites. Série, sommes partielles. Nature d'une série. Espace vectoriel des séries convergentes.

fin de l'exercice 16 (ch1)

Séries géométriques. Séries réelles à termes positifs, comparaison de séries. Séries de Riemann. Comparaison série-intégrale.

ex 3

Télécharger la feuille de TD du chapitre 2

Programme de colle de la semaine :
Demander le programme !

TD : formule de Stirling.

Télécharger la feuille de TD consacré à la formule de Stirling

Formule de Stirling. Règle de d'Alembert. Séries alternées. Séries absolument convergentes.
ex 5(abcd)

TD ex 6.1, 9, 10

Série exponentielle. Produit de Cauchy.

ex 10, 5, 4, 7 a, 7b, 7d

Programme de colle de la semaine prochaine :
Demander le programme !

Exercices 14, 12, 17, 11

Chapitre 4 : Suites et séries de fonctions.

Convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions. Convergence normale d'une série de fonctions.

exercices 1, 5a.b., 3

Feuille d'exercices du chapitre 4 :
télécharger

Continuité de la somme d'une série de fonctions continues qui convege normalement. Théorème de la "double limite''. Intégration terme à terme d'une série de fonctions continues sur un segment. Convergence normale et dérivation d'une série de fonctions.

exercices 5c et 5d.

Programme de colle de la semaine prochaine :
Demander le programme !

Propriétés de la fonction e_z:\R\rightarrow\C,\ t\mapsto \exp(tz).

Expression sous forme de série ("entière'' réelle) des fonctions :
exp, cos, sin, ch, sh

exercices 6.1, 6.2, 7.a, 7.b

TP Maple : Suites et séries numériques.

TD : Etude de la somme de série de fonctions.
télécharger la feuille de TD

Approximations uniforme de fonctions. Théorèmes de Weierstrass. Illustrations en Maple de la notion d'approximation uniforme.

ex 2, 8, 10, 13

td ex 11, 12, 4

Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier.

interrogation de cours

exercices 16,14

Programme de colle de la semaine prochaine :
Demander le programme !

Chapitre 6 : Séries entières

Définition d'une série entière. Rayon de convergence. Lemme d'Abel. Convergence normale sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence. Continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence.

Exercice 1.a

télécharger la feuille de TD du chapitre 6

télécharger le sujet du DM 6

Somme de séries entières, produit de Cauchy; Série entière d'une variable réelle. Intégration terme à terme.

exercices 1, 2, 8, 3b

Dérivation terme à terme. Fonction développables en séries entières. Série de Taylor.

exercices 7, 4, 5

Programme de colle de la semaine prochaine :
Demander le programme !

Devoir maison 7 :
télécharger

Développements en séries entières de fonctions usuelles.

exercices 5, 6, 14, 9, 10

TP 3 Maple (gpe 1) : Algorithmique et programmation

télécharger la feuille du TP3

Pour télécharger les procédures d'exponentiation rapide :
maple 9
maple 12

TD :
Exercices 10(fin), 13, 15, 11, 16

chapitre 8 : Séries de Fourier

Espace vectoriel des fonctions continues par morceaux 2pi-périodiques. Coefficients de Fourier. Série de Fourier.

Exercices 1, 2(début)

Feuille d'exercices du chapitre 8 :
télécharger

exercices 2(fin), 3

Structure préhilbertienne sur l'espace vectoriel des fonctions continues par morceaux et 2Pi périodiques : produit scalaire usuel, norme 2.

Famille orthonormale. Inégalité de Bessel. Théorème de convergence en moyenne quadratique. Formule de Parseval.

Convergence normale de la série de Fourier d'une fonction C C1M2 pi. Théorème de Dirichlet.
exercices 8, 4, 10, 12.1

Cas des fonctions de période quelconque.

Exercices 12(fin), 6, 13

Programme de colle de la semaine prochaine :
Demander le programme !

Chapitre 9 : Suites dans un evn et continuité

Equivalence des normes dans un espace de dimension finie. Parties bornées, applications bornées.
Suites convergentes dans un e.v.n., relations de comparaison de suites vectorielles. Boules ouvertes. Ouverts. Fermés.

TP 4 Maple (gpe 1) : Séries de Fourier

télécharger la feuille du TP4

TD : exercices 1, 2 12, 14

télécharger la feuille de TD du chapitre 9

Point adhérent. Limites. Opérations sur les limites. Continuité d'une fonction de E dans F.

exercices 6, 4, 9a

Caractérisation séquentielle de la continuité. Algèbre des fonctions continues. Compacité.

exercices 11

Programme de colle de la semaine prochaine :
Demander le programme !

Applications lipschitziennes. Continuité des applications linéaires et bilinéaires en dimension finie.

exercice 8.a.

TP 4 Maple (gpe 2) : Séries de Fourier

télécharger la feuille du TP4

TD : exercices 8, 7, 19, 20

Chapitre 10 : Dérivation des fonctions vectorielles de la variable réelle. Application aux courbes paramétrées

Dérivée en un point. Dérivée d'une application linéaire, bilinéaire, composées. Dérivation et coordonnées.

TD : chap. 9 : exercices 13, 21

chap. 10 : exercice 1

télécharger la feuille de TD du chapitre 10

télécharger le DM 9

Fonctions de classe C^k. Formule de Leibniz. Dérivation de fonctions composées.

exercices 9, 7.1

Programme de colle de la semaine 12 :
Demander le programme !

Fonctions C^k par morceaux.
Arcs paramétrés, courbes dans le plan et l'espace. Changement de paramétrage. Vecteur vitesse.

exercices 4, 5

exercices 10, 2, 6, 7

exercices 1, 2, 3 développements limités.
télécharger la feuille de TD de révisions sur les développements limités

Point régulier. Tangente. Point singulier. Etude locale en un point singulier, formule de Taylor-Young vectorielle.

exercice 11

exercices 4, 5 développements limités

Propriétés de l'application theta -> e^ (i theta). Courbes en polaires.

exercices

télécharger le DM 10

Programme de colle de la semaine 13 :
Demander le programme !

spécial Noël : télécharger le corrigé du DM 9

Chapitre 11 : Equations différentielles linéaires

Systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants. Unicité au problème de Cauchy. Cas diagonal. Cas triangulaire.

exercice 1

télécharger la feuille de TD du chapitre 11

exercices 2, 3 5

Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2. Théorème de Cauchy-Lipschitz. Structure de l'ensemble des solutions. Système fondamental de solutions. Wronskien. Méthode de Lagrange pour résoudre le système homogène lorsque l'on dispose d'une solution ne s'annulant pas.

exercices 5(fin), 4, 9

Méthode de variation des constantes pour résoudre l'équation avec second membre à l'aide d'un système fondamental de l'équation homogène.

exercices 7, 6

Programme de colle de la semaine 14 :
Demander le programme !

Chapitre 13 : Intégration sur un segment

Intégrale des fonctions en escalier. Intégrale des fonctions continues par morceaux. Linéarité, positivité, croissance de l'intégrale, relation de Chasles. Inégalité de la moyenne, valeur moyenne.

exercice 1

Primitive. Théorème fondamental. Intégration par parties. Changement de variables.

exercice 7

Programme de colle de la semaine 16 :
Demander le programme !

Inégalité des accroissements finis, prolongement de classe C^1, C^k.

Exercices 7, vrai-faux

TP 5 Maple (groupe 1) : coniques, quadriques et révisions d'algèbre linéaire.

Télécharger le fichier .mws de quadriques :
télécharger

Enoncé TP 5 :
télécharger

TD : exercices 9, 11, 5, 2, 4

Formule de Taylor avec reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange. Formule de Taylor-Young.

exercices 3, 10, 13

Chapitre 14 : Intégrales impropres. Intégrales à paramètre.

Intégrale convergente. Cas des fonctions positives. Théorème de comparaison. Intégrale absolument convergente. Intégrale sur un intervalle quelconque.

télécharger la feuille de TD du chapitre 14

exercices 1, 2, 3, 17

Inégalité de la moyenne. Changement de variable. Espace vectoriel des fonctions intégrables. Norme de la convergence en moyenne quadratique. Théorème de convergence dominée.

exercices 15, 10, 6

Théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque.

exercices 6, 9, 8

Programme de colle de la semaine 18 :
Demander le programme !

Extension du théorème de convergence dominée, dans le cas d'une domination sur tout segment.

Théorème de dérivation sous le signe intégral. Cas des dérivées n-ièmes

exercices 8, 12

exercices 19, 14, 13

télécharger le DM 14, à rendre pour le 04 février

exercice 14

TD : théorèmes d'interversions de symboles

exercices 1 à 9

Programme de colle de la semaine 19 :
Demander le programme !

Chapitre 15 : Fonctions de plusieurs variables, calcul différentiel.


Dérivées partielles. Classe C^1. Théorème fondamental pour une fonction à valeurs réelles. Gradient. Différentielle.

télécharger la feuille de TD du chapitre 15

Point critique. Point critique et extremum. Théorème fondamental pour une fonction à valeurs vectorielles. Différentielle. Matrice jacobienne. Fonctions composées.

exercices 4, 5

exercices 3, 9, 11, 12, 8

C1-difféomorphismes.

exercices 14, 7,10, 16

Dérivées d'ordre supérieur. Théorème de Schwarz.

exercice 13

Programme de colle de la semaine 20 :
Demander le programme !

Chapitre 16 : Equations différentielles non linéaires, équations aux dérivées partielles


Equation autonome. Théorème de Cauchy-Lipschitz. Equations à variables séparables. Système autonome.

télécharger la feuille de TD du chapitre 16

TP 6 groupe 1 : méthode d'Euler

exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6

Equations aux dérivées partielles

Exercices 7, 8

TD : équation de la chaleur.

Chapitre 17 : Surfaces


Nappes paramétrées. Equation cartésienne et paramétrisation cartésienne. Plan tangent.

télécharger la feuille de TD du chapitre 17

Programme de colle de la semaine 21 :
Demander le programme !

Vecteur normal. Surfaces de révolutions, cylindres, cônes. Contour apparent cylindrique ou conique.

exercices 1, 2, 3

TP 6 groupe 2 : méthode d'Euler

exercices 4, 5, 11, 8, 9

Chapitre 18 : Intégrales multiples, calculs d'aires et de volumes

Théorèmes de Fubini. Changement de variable dans une intégrale multiple.

exercices 10, 7 (ch. 17)

télécharger la feuille de TD du chapitre 18

Changement de variables en polaires. Changement de variables en sphériques, changement de variables en cylindriques.

Calculs d'aires et de volumes.

exercices 1, 2

Programme de colle de la semaine 22 :
Demander le programme !

Chapitre 19 : Etude métrique des courbes planes

Abscisse curviligne. Paramétrage normal. Courbure. Repère de Frenet.

exercices 8, 7, 5(début), du ch. 18

télécharger la feuille de TD du chapitre 19

Intégrale le long d'un arc orienté. Circulation d'un champ de vecteur. Formule de Green-Riemann

ch 18 : 11
ch 19 : 4, 1,

exercices : E3A PT 2009

Programme de colle de la semaine 23 :
Demander le programme !