06.09
Chapitre 1 : Intégrales convergentes. Fonctions intégrables.
Intégrale convergente. Intégrales de Riemann, exponentielles, logarithmes. Théorèmes de comparaison. Intégrales absolument convergentes.
Chapitre 1 : Intégrales convergentes. Fonctions intégrables.
Intégrale convergente. Intégrales de Riemann, exponentielles, logarithmes. Théorèmes de comparaison. Intégrales absolument convergentes.
En grève
Fonctions intégrables.fonctions continues par morceaux. Exemple : intégrales de Bertrand.
ex 5,2,3 (à chercher pour le 07.09 : 4 et 6)
Fiche de résumé de cours du chapitre 1
Chapitre 3 : Séries numériques
Rappels sur les suites. Série, sommes partielles. Nature d'une série. Suite des restes d'une série convergente. Séries géométrique.
Convergence d'une série à termes positifs.
télécharger la feuille de TD sur la formule de Stirling
télécharger la feuille de TD du chapitre 3
(à chercher pour le 16.09 : partie III du TD Stirling)
TD : série harmonique, formule de Stirling.
Séries de Riemann. Série harmonique. Comparaison série-intégrale. Formule de Stirling. Critère spécial des séries alternées.
exercices 6a, 6b, 5u, 5v, 5x, 11b
(à chercher pour le 23.09 : 4,13)
Comparaison de séries à termes positifs. Espace vectoriel des séries convergentes. Séries absolument convergentes. Règle de d'Alembert.
(à chercher pour le 27.09 : 5w, 6c, 6d, 14)
Programme de colle de la semaine 2 :
Demander le programme !
Série exponentielle. Produit de Cauchy de séries absolument convergentes.
5w, 6c, 6d, 7, 14
exercices 1, 9, 17, 8
Fiche de résumé de cours du chapitre 3
Chapitre 5 : Suites et séries de fonctions
Convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions. Convergence normale d'une série de fonctions.
Illustrations en Maple
télécharger la feuille de TD du chapitre 5
exercices 18, 16, 23, 19a
Continuité de la somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement. Théorème de la ``double limite''.
exercices 1, 5, 7a, 7b
(à chercher pour le 11.10 : 6)
Programme de colle de la semaine 4 :
Demander le programme !
Approximations uniforme de fonctions. Théorèmes de Weierstrass. Illustrations en Maple de la notion d'approximation uniforme. Approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier.
exercices 10, 8, 6, 9, 11a
TP 2 Maple Groupe A : séries numériques
En grève
exercices 11b, 13, 15, 16, 4
Chapitre 7 : Intégration et dérivation de suites et séries de fonctions
Inégalité de la moyenne. Linéarité de l'intégrale sur un intervalle quelconque.
Théorème de convergence dominée. Théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque.
Théorème d'intégration terme à terme sur un segment en cas de convergence normale.
exercices 2, 4, 5
télécharger la feuille de td
Convergence normale et dérivation terme à terme d'une série de fonctions.
Propriétés de la fonction t->exp(tz).
Expression sous forme de somme de série (``entière'' réelle) des fonctions exp, cos, sin, ch, sh.
exercice 5, 1
Relation de Chasles.
Théorème de changement de variable sur un intervalle quelconque (cas impropre ou non).
Exercices 9a, 8, 20, 19.1
Exercices 19, 15, 10, 16(début)
à finir pour le 10.11 : ex16
| Chapitre 9 : Suites dans un espace vectoriel normé et continuité |
Equivalence des normes dans un espace de dimension finie. Parties bornées, applications bornées. Suites convergentes dans un e.v.n., relations de comparaison de suites. Boules ouvertes. Ouverts. Fermés. Point adhérent. Limites. Opérations sur les limites. Continuité d'une fonction de E dans F.
Caractérisation séquentielle de la continuité. Algèbre des fonctions continues. Compacité. Toute fonction continue sur un compact admet des extremums.
td : exercice 1, 7, 5, 4
Applications lipschitziennes. Continuité des applications linéaires et bilinéaires en dimension finie.
td : exercices 10
à chercher pour le 29.11 : 13
Programme de colle de la semaine 9 :
Demander le programme !
td ch 9 : exercice 13, 12, 17
(échange avec le cours de chimie du 8/12)
| Chapitre 10 : Séries entières |
Série entière. Rayon de convergence. Lemme d'Abel. Convergence normale sur tout compact inclus dans le disque ouvert de convergence. Continuité de la somme d'une série entière sur le disque ouvert de convergence.
ch 10 : exercices 1, 2, 19, 8, 6 abcd
Somme de séries entières, produit de Cauchy; Série entière d'une variable réelle. Intégration terme à terme. Dérivation terme à terme. Convergence radiale.
ch 10 : exercices 9, 10, 12, 3.1
Fonction développables en séries entières. Série de Taylor.
Programme de colle de la semaine 10 :
Demander le programme !
| Chapitre 11 : Dérivation des fonctions vectorielles de la variable réelle |
td ch. 10 : exercice 5, 4(début)
à chercher pour le 07.12 : 15
td : exercices 4(fin), 15, 7a, 13
à chercher pour le 08.12 : 16
ch.10 : 16, 18 td : exercices 16, 18
Dérivation et coordonnées. Fonctions de classe C^k. Formule de Leibniz. Dérivation de fonctions composées.
td ch. 11 : ex 2, 4, 10 (début)
à chercher pour le 13.12 : 10, 3
Programme de colle de la semaine 11 :
Demander le programme !
Fonctions C^k par morceaux. Dérivées jème en les points de continuité d'une fonction C^k par morceaux. Arcs paramétrés, courbes dans le plan et l'espace. Changement de paramétrage.
td ch. 11 : ex 10, 3, 7
à chercher pour le 14.12 : 11, 12
td ch. 11 : ex 11, 12, 8, 16, 17
Vecteur vitesse. Point régulier. Tangente. Point singulier. Etude locale en un point singulier, formule de Taylor-Young vectorielle. Courbes en polaires.
td ch. 11 : ex 13, 14, 15
| Chapitre 10 : Equations différentielles |
Ecriture générale d'une équation différentielle. Le problème de Cauchy.
Rappels de PCSI : équations différentielles linéaires du 1er ordre, et du second ordre à coefficients constants. Systèmes linéaires.
td ch. 11 : ex 13, 14, 15
Programme de colle de la semaine 12 :
Demander le programme !
Cas diagonal. Cas triangulaire. Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
td ch. 12 : ex 4(début)
à chercher pour le 04.01 : 4, 5
td ch. 12 : ex 4(fin), 5, 8, 10, 14, 1
à chercher pour le 05.01 : 2
Structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 2. Système fondamental de solutions. Wronskien. Méthode de Lagrange pour résoudre le système homogène lorsque l'on dispose d'une solution ne s'annulant pas
td ch. 12 : ex 6, 7
Méthode de variation des constantes pour résoudre l'équation avec second membre à l'aide d'un système fondamental de l'équation homogène. Equations différentielles non linéaires.
Equation autonome. Equations à variables séparables. Théorème de Cauchy-Lipschitz.
td ch. 12 : ex 16(début)
à chercher pour le 10.01 : 16
Programme de colle de la semaine 13 :
Demander le programme !
Système autonome. Méthode d'Euler.
td ch. 12 : ex 16(fin)
td ch. 12 : exercices 9, 15, 11, 13
td ch. 13 : ex 6, 7
télécharger le corrigé
| Chapitre 14 : Continuité et dérivabilité d'intégrales à paramètre |
td ch. 14 : ex 8, questions 1 et 3 seules
Programme de colle de la semaine 15 :
Demander le programme !
td ch. 14 : ex 2(fin), 3, 4, 5, 6
à chercher pour le 26.01 : 12.1, 12.2
td ch. 14 : ex 12, 11, 14
Série de Fourier réelle. Régularisée d'une fonction continue par morceaux 2Pi-périodique. Inégalité de Bessel. Théorème de convergence en moyenne quadratique. Formule de Parseval.
Convergence normale vers la fonction de la série de Fourier d'une fonction continue, 2Pi-périodique, et C^1 par morceaux.
td ch. 15 : ex 1, 2, 6, 7, 12, 14
à chercher pour le 02.02 : ex 5
Théorème de Dirichlet.
td ch. 15 : ex 5, 4, 8
à chercher pour le 03.02 : ex 11
Cas d'une période quelconque. Valeur moyenne. Simulations Maple.
td ch. 15 : ex 10, 11
à lire pour lundi : p. 3 et 4 polycopié chapitre 16
Programme de colle de la semaine 17 :
Demander le programme !
| Chapitre 16 : Intégration sur un segment |
td ch. 16 : ex 4, 1, 11a
à chercher pour le 08.02 : V)1à5
td ch. 16 : ex 11, 10, 3, 2, 7a
à chercher pour le 09.02 : ex 7b, 7d
Inégalité des accroissements finis, Prolongement de classe C1. Formules de Taylor.
ex 7b, 7d , 7c, 8, 9
à chercher pour le 10.02 :
td ch. 16 : ex 5, 6, 12
Programme de colle de la semaine 17 :
Demander le programme !
| Chapitre 17 : Fonctions de plusieurs variables, calcul différentiel |
Dérivées partielles. Classe C1. Théorème fondamental pour une fonction à valeurs réelles. Gradient. Point critique. Point critique et extremum.
Simulations Maple : fonctions de 2 variables à valeurs réelles.
ch17 : ex 1, 2, 3, 10, 8
pour le 16.02 : chercher le 4
Différentielle. Théorème fondamental pour une fonction à valeurs vectorielles. Différentielle. Matrice jacobienne. Fonctions composées.
ch17 : ex 4, 5, 9
pour le 17.02 : chercher le 11
Différentielle. Théorème fondamental pour une fonction à valeurs vectorielles. Différentielle. Matrice jacobienne. Fonctions composées.
ch17 : ex 11, 16, 14
pour le 17.02 : chercher le 12
Programme de colle de la semaine 19 :
Demander le programme !
fonctions de classe C^k. Théorème de Schwarz.
ch17 : ex 6, 7, 12
pour le 22.02 : chercher le 13.1
ex 13, 14, 15
| Chapitre 18 : Equations aux dérivées partielles |
ex 1, 2, 3
pour le 24.02 : ex 1 révisions
ex 5, révisions
Programme de colle de la semaine 20 :
Demander le programme !
| Chapitre 20 : Intégrales multiples, calculs d'aires et de volumes |
ch 19, ex 11(fin)
ch 20, ex 3, 4, 8, 7(début)
à finir pour le 23.03 : ex 7
Changement de variable dans une intégrale triple. Cas des coordonnées sphériques et cylindriques.
Calculs d'aires et de volumes. Cas des changements de variable en coordonnées polaires ou cylindriques.
ch 20, ex 7(fin)
ch 20 : ex 6, 9
Programme de colle de la semaine 22 :
Demander le programme !
révisions : CCP PSI 2008
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