PCSI A - mathématiques - Le cahier de texte 2009/2010

• Vocabulaire relatif à la notion de groupes, anneaux et corps.
  • Lois de composition interne.
  • Groupes, sous-groupes.
  • Morphismes de groupes. Image et noyau.
  • Exemples.

• Vocabulaire relatif à la notion de groupes, anneaux et corps.
  • Structure d'anneau. Sous-anneaux.
  • Structure de corps
  • Exemples

• TD sur les polynômes : feuille 12, ex. 11.
  

Chapitre 11 : Espaces vectoriels

• I) Structure d'espace vectoriel
  
  
  
  • 1) Généralités
    Axiomes de la structure d'espace vectoriel ; règles de calcul ; exemples numériques et géométriques ; notion de combinaison linéaire .
    
  • 2) Construction d'espaces vectoriels ; exemples standards
    
    
    
    • a) Espace produit.
      Exemple K^n
      
    • b) Espace d'applications.
      Exemple K^N, application de R vers R.
      
    • c) Espace K[X]
      
    
    

• Cours :

  II) Sous-espaces vectoriels
  1) Généralités
  Définition ; exemples et propriétés.

• TD : Feuille de TD 13 : ex 1. 1.
  

• Cours :

  2) Intersection de sous-espaces vectoriels

• TD : suite de l'ex. 1 de la feuille 13.
  

• Cours :

  • 3) Sous-espace engendré par une partie
    Ensemble des combinaisons linéaires. Exemple K_n[X] = Vect(1, X,...,X^n).
    
  • 4) Somme de sous-espaces
    Somme, somme directe ; espaces supplémentaires.
    

• TD : fin de l'exercice 1.

• Cours : sous-espaces supplémentaires, exemples.

• TD : ex 4 de la feuille 13.
  

• Interrogation 14.

• Remise du DM 9.

• Feuille de TD 13 : exercices 4, 6 et 7.

• Correction de l'interrogation 14.

• Cours :

  III) Applications linéaires

  1) Définition, généralités
  Exemples en géométrie, en algèbre et en analyse.

• TD : ex 5 et 8 de la feuille 13.
  

• Cours :

  2) Image et noyau d'une application linéaire f : E -> F.
  a) Le noyau ker f.
  Définition ; ker f est un ss-ev de E ; caractérisation de l'injectivité.

  b) L'image Im f.
  Définition ; Im f est un ss-ev de F ; caractérisation de la surjectivité.

• TD : ex. 13 de la feuille 13.

• Cours :

  3)L'ensemble L(E,F) .
  a) L(E,F) est un K-ev.

  b) Structure d'anneau pour L(E,F)

  c) Le groupe linéaire Gl(E)

  4) Projecteurs.
  Présentation géométrique de la notion de projection.

• Cours :

  4) Les projecteurs.
  Propriétés et caractérisation algébrique : p^2 = p.

• TD : suite et fin de l'ex. 13.
  

Exercice 14 et 16 de la feuille 13.

Chapitre 15 : espaces vectoriels de dimension finie
• I) Familles de vecteurs
  • 1) Familles génératrices

  • 2) Familles libres

  • 3) Bases
    Unicité de la décomposition d'un vecteur dans une base.
    Toute famille génératrice contient une base.
    

• TD : exercice 7 de la feuille 16.
  

• Cours :
  4) Famille de vecteurs et application linéaire
  Une application linéaire est uniquement déterminée par l'image d'une base

  II) Dimension d'un espace vectoriel
  1) Généralités
  Théorème et définition de la dimension (cardinal des bases).
  2) Caractérisations des bases
  Théorème de la base incomplète.
  Une famille B est une base ssi B est libre et card B = dim E ssi B est génératrice et card B = dim E.

  3) Isomorphisme avec K^n

• Isomorphisme entre deux espaces de dimension finie. Illustration

• III) Utilisations de la dimension
  1) Sous-espaces vectoriels
  F un ss-espace de E dim finie.
  dim F <= dim E avec égalité ssi E = F

  2) Espaces produits

• Feuille de TD 17 . Exercice 1 (début).
  

• Cours :

  3) Dimension du supplémentaire
  Existence du supplémentaire en dimension finie ; dimension d'un supplémentaire ; formule de Grassmann : dim(F+G) = dim F + dim G - dim(F inter G) ; CNS utilisant la dimension pour qu'une somme soit directe.

• TD : suite de l'exercice 1.

• Interrogation 18. Correction.

• Exercices 9 et 5 de la feuille 17.

• IV) Applications linéaires en dimension finie

  Rang d'une application linéaire ; formule du rang : rg f + dim ker f = dim E

• Exemple d'utilisation de la dimension : les suites récurrentes linéaires d'ordre 2.
  

• Chapitre 16 : les matrices

  I) L'espace M_np(K)
  1) Généralités
  Structure d'espace vectoriel ; dimension . Matrices particulières (carrées, diagonales, triangulaires). Transposition ; matrices symétriques et antisymétriques.

• TD : exercices 11 et 13 de la feuille 17.
  

• II) Interprétations des matrices

  • 1) Familles de vecteurs
    Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Rang d'une matrice.

  • 2) Applications linéaires
    Matrice d'une a.l. de E vers F d'une base de E vers une base de F.
    Isomorphisme entre L(E,F) et M_n,p(K).
    
  
  
• III) Produit matriciel
  
  • 1) Généralités
    Interprétation à l'aide de la composition ; calcul pratique du produit ; propriétés.
    
  
  

• Cours :

  2) Matrices carrées
  a) Généralités : structure d'anneau de M_n(K) ; le groupe Gl_n(K).

  b) Caractérisation des matrices carrées inversibles.
  A est inversible ssi AX = 0 -> X = 0 ssi rg A = dim E.

  c) Calcul pratique de l'inverse.
  Deux méthodes (peu efficaces).

• TD : exercice 14 de la feuille 17.

• Pour l'interrogation de lundi : travailler bien les exercices 13, 14 et 15 de la feuille 17 ansi que le calcul matriciel.
  

• Interrogation 19.

• Cours :
  
  • IV) Changement de base
    1) Matrice de passage
    2) Formules de changements de bases
    cas des vecteurs et des applications linéaires.

  • V) Rang d'une matrice
    1) Propriétés
    rang M = r ssi il existe U et V inversibles telles que M = U Jr V.

• 2) Opérations sur les lignes et les colonnes
  • Définition des opérations élémentaires ; interprétations matricielles.
  • Le pivot de Gauss pour calculer le rang et inverser une matrice.

• Cours :

  VI) Systèmes linéaires
  1) Généralités
  Point de vue matriciel ; structure affine de l'ensemble des solutions.
  2) Système de Cramer
  Unicité de la solution ; pivot de Gauss.

• TD : exercices 6 et 10 de la feuille 18 .

• A faire pour lundi : ex. 9 et 17 de la feuille 18.

• Un panorama de ce qui a été vu cette année en algèbre linéaire.

• Exercice 9 de la feuille 18.

• Pour demain : réviser les déterminants vus dans les cours de géométrie de la 1ére période.
  
  

• Les déterminants en dimension 2 et 3.

• Exercices 1 et 5 de la fiche.

• Exercices 17 de la feuille 18 : changement de base pour un endomorphisme.

• Exercices 11 de la feuille 18 : un endomorphisme sur un espace de fonctions ; écriture matricielle ; résolution d'une équation différentielle.

Cours : chapitre 19. Espaces vectoriels euclidiens

• I) Produits scalaires
  
  
  
  • 1) Généralités
    Définition et exemples.
    
  • 2) Norme et distances
    Définition et propriétés. L'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    
  
  

Cours :

• 3) Orthogonalité

  Relation d'orthogonalité. Théorème de Pythagore. Orthogonale d'une partie ; propriétés.

• Quelques identités sur les normes et produits scalaires et leur interprétation géométrique.
  

• Interrogation 21.

• Remise du DM 4.

• Cours : II) Espaces vectoriels euclidiens
  
  • 1) Bases orthonormées
    
  
  

TD sur les produits scalaires : feuille 21 exercices 2, 3 et 4 de la feuille.

• 3) Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
• 4) Espaces orthogonaux
  • a) Généralités
  En dimension finie F et son orthogonal son en somme directe.

• Cours :
  • b) Projections orthogonales

    Distance à un sous-espace.

  • c) Symétries et réflexions
    
  
  
• III) Automorphisme orthogonaux

  1) Généralités
  Caractérisation. Groupe O(E).
  

• Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt : ex 7 et 8 de la feuille 21.

• 2) Matrices orthogonales
  Le groupe On(R).

• 3) Automorphismes orthogonaux du plan
  Classification ; rotations et réflexions. Exemples.

  
  

• 4) Automorphismes orthogonaux de l'espace
  • a) Les rotations
  • b) Les réflexions

• Remise du ds 9.
  

• Etude métrique des courbes planes : notes de cours .

• Exercice d'algèbre bilinéaire : ex 10 de la feuille 21.