PCSI A - mathématiques - Le cahier de texte 2009/2010

Chapitre 12 : fonctions d'une variable réelle : limite et continuité.
• I) Limite d'une fonction
  

  • Rappels de vocabulaire .

  • 1) Généralités
    Définition d'une limite (finie ou infinie) en un point.

    Toute fonction qui admet une limite finie (resp. >0) en un point est bornée (resp. >0) au voisinage de ce point.
    

  
  

• 2) Règles de calcul sur les limites
  
• 3) Comparaisons de fonctions et limites
  
• 4) La limite monotone

• Cours :

  5) Théorème des valeurs intermédiaires

• TD : ex 4 de la feuille 14.

• Cours : illustrations du théorème des valeurs intermédiaires.

• TD : exercices 1 et 3 de la feuille 14.

• Interrogation de cours 15.
• Remise du DS6.
• Cours :

  4) Fonctions continues sur un segment

• TD : exercices 9 et 10 de la feuille 14.
  
  

• Cours :

  5) Théorème de la bijection

• TD : exercices 11, 12 et 13 de la feuille 14.
  

Chapitre 13 : Dérivation

• I) Nombre dérivée
  • 1) Généralités

    Définition comme limite du taux d'accroissement. Interprétation géométrique.
    

  • 2) Quelques utilisations du nombre dérivé
    
  • 3) Règles de calcul

    Somme, produit, quotient, composition et inverse.
    

  
  
• II) Fonction dérivée
  
  
  
  • 1) Généralités
    
  
  

Cours sur la dérivation :
• 2) Le théorème de Rolle et les accroissement finis.
  Théorème de Rolle, égalité et inégalités des accroissement finis.

• 3) Variations des fonctions

• Feuille d'exercices 15 : disponible ici .
  

• Cours :

  III) Dérivées d'ordre supérieures
  Formule de Leibniz.

• TD : exercices 1 & 5 de la feuille 15.

• Interrogation 16.

• Remise du DM 11.

• Cours :

  IV) Limite de la dérivée

  V) Fonctions convexes

  1) Point de vue géométrique

• TD : exercices 2 et 3 de la feuille 15.
  

• Correction de l'interrogation 16.

• Cours : convexité.

  2) Convexité et dérivabilité

• TD : exercice 6 & 7 (à finir) de la feuille 15.

• Chapitre 14 : étude locale d'une fonction et développements limités
  • I) Outils de comparaison
    • 1) La relation "grand O"
    • 2) La relation "petit o"
    • 3) La relation d'équivalence
  • II) Développements limités
    • 1) Généralités

      Définition d'un DL à l'ordre n d'une fonction au voisinage d'un point. Unicité ; troncature.
      

    
    
  
  

• Cours :

  2) La formule de Taylor
  Développements usuels .

  3) Opérations sur les D.L.
  Combinaison linéaire, produit, intégration et dérivation, composition.

• TD : Feuille 16.
  

• Calculs de limites : exercices 1 et 2 de la feuille 16.

• Calcul de D.L..

• Mardi : interrogation de cours sur les D.L.
  

• Interrogation 17 et son corrigé.

• Cours :

  III) Application des D.L. à l'étude locale des courbes paramétrées

  Utilisation des D.L. pour le tracé d'une courbe paramétrée au voisinage d'un point singulier.

• TD : exercice 13 de la feuille 16.
  

• Notes de cours sur la notion de dimension finie.

• Travail sur un sujet de concours "petites Mines" : l'énoncé et le corrigé .

• Programme de révision pour les vacances : tout et plus précisément :
  
  
  
  • Analyse réelle : fonctions usuelles, eq. diff., courbes paramétrées, suites, continuité, dérivabilité et D.L.
    
  • Algèbre : algèbre linéaire et polynômes.
    
  • Géométrie : produit scalaire et vectoriel, coniques.
    
  • Vous pouvez également faire le DM 15 des PCSI B (disponible sur le cahier de texte des PCSI B).
    
  
  

Chapitre 17 : intégration sur un segment
• Construction de l'intégrale .
• I) Propriétés de l'intégrale
  • 1) Valeur moyenne ; inégalité
  • 2) Fonctions continues Une fonction positive et continue d'intégrale nulle est nulle sur tout le segment.

Cours :
• II) Intégration et dérivation

  1) Primitives
  2) Le théorème fondamental

• III) Calculs d'intégrales
  1) Intégration par parties

• TD : déterminants. Exercice 4 de la fiche.
  

• Cours :
  • 2) Le changement de variable
    • a) La formule. Exemples.
    • b) Utilisations : fonctions paires, impaires et périodiques. Changement de variable affine.
  • TD : ex 4. 1 et 5. 1 de la feuille 19 .

• Cours :
  • IV) Approximation d'intégrales
    • 1) Sommes de Riemann

      Définition, illustrations Maple et convergence.
      

    • 2) La méthode des trapèzes
      
    
    
  • TD : ex 4. 2 et 2 de la feuille 19 .
    
  
  

• Cours :
  • V) Utilisations de l'intégrale
    • La formule de Taylor avec reste intégral
    • Longueur d'ars paramétrés
  • TD : ex 13 de la feuille 19 .

• Longueur d'un arc de parabole.

• Ex 8 de a feuille 19 : le changement de variable t = tan(x/2).

• Remise et commentaires sur le DM 13.

• Cours : Chapitre 18 : fonctions de deux variables

  • I) Généralités
    Présentations des fonctions de deux variables ; représentations 3d et illustrations Maple.
    
    • 1) Domaine du plan
      
    • 2) Limite et continuité
      
  
  
• TD : exercice 7 de la feuille 19.
  

• Cours :

  • II) Calcul différentiel
    
    • 1) Dérivées partielles et directionnelles
      
    • 2) Fonction de classe C1
      Théorème fondamental ; approximation f(a+h) - f(a) = df(a).h + o(||h||). Gradient.
      
    • 3) Généralisation à f : R^2 -> R^n
      
    • 4) Dérivées d'ordre 2
      Le théorème de Schwarz.
      
  
  
• TD : exercice 14 de la feuille 19.
  

• Cours : III) Applications et utilisations
  • 1) Extremums
  • 2) Composition et dérivées partielles

    Le changement de variables en coordonnées polaires.
    

  
  
• feuille 20 .
  

• Cours :
  • 3) E.D.P.

    Résolutions d'E.D.P. simples ; un exemple avec un passage en polaire.
    

  
  
• IV) Intégrale double
  
  
  
  • 1) Intégration sur un rectangle
    Propriétés et théorème de Fubini.
    
  
  
• Exercice 1 et 2 de la feuille 20 .
  

• Fonction de plusieurs variables : exercice 3, 6 et 7 de la feuille 20 .

• Interrogation 20.
• Cours :
  • 2) Intégration sur un domaine "complexe"

    Intégration par tranches.
    

  • 3) Changements de variables

    Changement linéaire et en polaire ; exemples.
    

  
  
• ex 10 (1) et 11 de la feuille 20.

• Remise du DS8.
  

• Cours : V) Champs de vecteurs
  • 1) Généralités

    Définition ; champs dérivant d'un potentiel scalaire et théorème de Poincaré.
    

  • 2) Intégrale curviligne
    
  
  
• TD feuille 20, exercice 13 : un champ de vecteur dont les dérivées partielles croisées sont égales mais qui ne dérive pas d'un potentiel scalaire.
  

• Cours : 3) Formule de Green Riemann

  Application au calcul d'aires.

• TD : ex 14 et 12 de la feuille 20.

TD sur les produits scalaires : feuille 21 exercices 2, 3 et 4 de la feuille.