PCSI A - mathématiques - Le cahier de texte 2009/2010

• Correction de l'ex. 30 feuille 4.
• Rappels sur la notion d'intégrale et de primitive.
• Exercices de remise en forme : feuille 5.
• Fonctions à valeur complexe : exemple d'utilisation.
• A faire pour vendredi : bien réviser les notions de calcul intégral vues en TS. Ex. 3 et 4 de la feuille 5.

• Fin du TD de révision autour de la notion de primitive : ex 3 et 4 de la feuille 5.
• Cours :

  Chapitre 3 : Equations différentielles linéaires
  Préambule.

  1) Caractérisation de l'exponentielle
  1) Equation différentielle y'=ay
  2) Equation fonctionnelle y(t+u)=y(t)y(u)

• Interrogation 3 A et B.

• Cours :

  II) Equation différentielle linéaire du premier ordre
  définition, forme résolue en y'.
  1) Equation linéaire homogène associée
  Espace des solutions. Existence et unicité d'une solution de y'=a(t)y + condition initiale. Forme de la solution. Exemple.
  

• A faire pour mercredi : ex. 5 de la feuille 5.
  

• Correction des interrogations de cours.
• Correction de l'exercice 5.
• Cours :

  2) Résolution de l'équation complète y' = ay + b
  a) Structure des solutions.

• Cours :

  b) Détermination d'une solution particulière (méthode de variation de la constante).
  c) Forme générale d'une solution.
  Existence et unicité de la solution de y'=ay + b + condition initiale.

• TD : cas particulier des coefficients constants. Feuille 5, ex 6. (1).
  
• A faire pour vendredi : finir l'ex. 6.
  

• Correction de l'exercice 6 de la feuille 5.
• Cours :

  d) Le principe de superposition

• Détermination d'une solution particulière de y'=ay + b(t) où b(t) est :
  
  
  
  • un polynôme
    
  • une exponentielle fois un polynôme.
    
  • un cos (sin) fois un polynôme.
    
  • exemples de l'exercice 8.
    
  
  
• A faire pour lundi : ex 7 de la feuille 5.
  

• Interrogations 4A et 4B .

• Equations non résolues en y' : méthode, exemples, ex. 10 de la feuille 5.

• Ex. 9 de la feuille 5. A finir .
  
  

• Correction de l'interrogation de leçon 4.
• Correction de l'ex. 9 feuille 5. Cf corrigé : ex9 .
• Cours :

  III) Equations différentielles du second ordre à coefficients constants.
  Généralités.
  1) Equation homogène associée
  a) Structure de l'ensemble des solutions.
  b) Détermination de l'espace des solutions, cas complexe.
  

• Cours : équations différentielles du second ordre, homogènes, à coefficients constants.

  c) Solutions à valeurs réelles.
  Régimes apériodiques, critiques et pseudo-périodiques.

• TD : ex 13 de la feuille 5 avec conditions initiales.

• Rappel : DM3 pour demain.

Cours :
• 2) Equation complète ay'' + by' + cy = f(t)

  a) Etude générale de la forme des solutions.
  sol. particulière + sol. eq. homogène associée.

  b) Solution particulière : cas f(t) = P(t) avec P polynôme.

  c) Solution particulière : cas f(t) = P(t)exp(at).

  Exemples.

• IV) La méthode d'Euler

  Présentation de la méthode d'Euler (approximation des solutions d'une ED). Illustration Maple.

• A faire pour vendredi : ex 14 (a) et (b) de la feuille 5.
  

• Cours : résumé de la méthode de résolution des équations du 2nd ordre. Cas de la résolution dans R avec un second membre : Pcos + Qsin.
• TD : Exercice 14 de la feuille 5. Illustration Maple.
• A faire pour s'entrainer pendant les vacances : ex 15 et 16 (a).

Des équations différentielles linéaires du premier ordre : exercice 2 de la feuille 3.