PCSI A - mathématiques - Le cahier de texte 2009/2010

• Remise du DM3.
• Cours :

  Chapitre 4 : géométrie élémentaire du plan.
  I) Repérage des points du plan
  1) Points et vecteurs
  a) Opérations sur les vecteurs.
  b) Barycentres.

• Application : ex 1 de la feuille 6.
  
• Rappel : DM4 pour demain.
  

• Préambule sur la notion de distance, d'orthogonalité et de mesure d'angle.
• Cours :

  2) Repère cartésien
  a) Généralités. Notion de base de vecteurs.
  b) Repère orthonormal direct. Bases orthonormales directes. Changement de repère.

• Exercice 3 de la feuille 6.
  
• Pour vendredi : Feuille 6, ex.4
  

• Dictionnaire entre points de vue affine, vectoriel et complexe.
• Cours :

  c) Coordonnées polaires.

  II) Produit scalaire et déterminant
  Qu'est qu'une forme bilinéaire ?
  1) Produit scalaire
  a) Généralités : définition, interprétation géométrique, propriétés.
  b) Projection orthogonal sur une droite.

• Applications : ex. 7 et ex. 9 de la feuille 6.
  

• Interrogation 5.
• Cours :

  2) Le déterminant
  a) Généralités. Définition, expression dans une BOD, propriétés.
  b) Interprétation géométrique. Volume.

  III) Droites et cercles
  1) Droites du plans
  a) Colinéarité : utilisation du déterminant.
  b) Vecteur normal : utilisation du produit scalaire.
  c) Lignes de niveau.

• A faire pour mardi : ex. 11 et 12 de la feuille 6.
  

• Correction de l'interrogation 5.
• Cours :

  2) Cercles du plan
  Equations cartésiennes (centre + rayon ; diamètre).
  3) Problèmes d'intersections
  a) Droites et droites.
  b) Droites et cercles.
  c) Cercles et cercles.

• TD : ex. 13 de la feuille 3.
  
• A faire pour jeudi : ex. 16, 17 et 20, feuille 6.
  

• Transformations du plan complexe : les similitudes.
• Cours :

  Chapitre 5 : géométrie de l'espace.
  I) Repérage des points du plan
  1) Points et vecteurs de l'espace
  2) Repère cartésien
  Généralités, bases de vecteurs, coordonnées, repère orthonormé direct, orientation. Changement de repères.
  Autres modes de repérages : Coordonnées sphériques et polaires.

• TD : correction des ex. 16 et 20, feuille 6. Ex. 19, feuille 6.

  
  

• Cours :

  II) Le produit scalaire
  1) Généralités
  Définition, propriétés et calcul dans une base orthonormé.
  2) Conséquences géométriques
  Vecteur normal à un plan, existence, propriétés. Projeté orthogonal d'un point sur un plan

• TD : ex. 17 et 21 de la feuille 3.
  

• Cours :

  III) Le produit vectoriel
  1) Généralités.
  Définition géométrique. Propriétés.
  Expression dans une base orthonormée directe. Illustration Maple.
  Propriétés et règles de calcul.

• TD : Feuille 7 : ex 3 et 4.
  
• A faire pour Mardi : ex. 5, feuille 7.
  

• Correction de l'ex. 5 feuille 7.
• Cours :

  IV) Le déterminant (ou produit mixte)
  1) Généralités
  2) Propriétés ; règles de calcul
  Expression dans une B.ON.D. Exemples de calculs (ex. 8, feuille 7).
  3) Point de vue géométrique
  Aire d'un parallélépipède.
  
  

• A faire pour mercredi : ex. 10, feuille 7.
  

• TD : ex. 10 et 11 de la feuille 7.

• Cours :

  V) Plan et droite
  1) Plans de l'espace
  a) Comment définir un plan ?
  b) Comment déterminer une équation d'un plan ?
  Méthodes : avec un point et deux vecteurs colinéaires, avec un vecteur normal...
  c) Distance d'un point à un plan
  Utilisation du déterminant ou du produit scalaire.

• 2) Les droites de l'espace
  a) Comment définir une droite ?
  Point + vecteur directeur ; intersection de deux plans.
  b) Détermination d'un système d'équations pour une droite.
  Exemples.
  c) Distance d'un point à une droite
  d) La perpendiculaire commune à deux droites.
  

• A faire pour vendredi : ex. 13 et 15 de la feuille 7.

• Cours :

  VI) Sphères
  1) Généralités
  Equation cartésienne.
  2) Intersection d'une sphère et d'un plan
  Plan tangent.

• TD : feuille 7, ex 13, 17 et 19 (1)

• A faire pour lundi : réviser pour l'interrogation de cours et entraînez-vous avec les ex. corrigés de la feuille de TD !

• Interrogation de cours 6.
• Remise du DS3.
• Cours :

  3) Intersection : sphère-droite
  4) Intersection : sphère-sphère

• TD : ex. 16 et 20 feuille 7.
  

Chapitre 6 : Courbes paramétrées du plan

Préambule : qu'est-ce qu'une courbe ?

I) Courbes paramétrées : généralités

1) Fonctions à valeurs dans R2
fiche.

2) Courbes paramétrées : vocabulaire
Support d'une courbe, vecteur vitesse et accélération, point régulier.

II) Etude d'une courbe en coordonnées cartésiennes
Plan d'étude ; exemple de la cardioïde.

• Exercice 1 de la feuille 8 (courbe de Lissajous).
• Exercice 3 de la feuille 8 : folium de Descartes.

• Correction de l'interrogation 6.
• Fin de l'ex. 4, feuille 8.
• Ex. 2 de la feuille 8 : la cycloïde. Illustration Maple et geogebra.

• Interrogation de cours 7.
• Cours :

  III) Courbes en coordonnées polaires
  1) Généralités
  2) Equation polaire r=f(\theta).
  a) Généralités ; exemples (droites et cercles)
  b) Vecteur vitesse
  Expression du vecteur vitesse en coordonnées polaires ; tangente en un point régulier.
  

• 3) Etude d'une courbe en coordonnées polaire. Plan d'étude : domaine de définition, restriction du domaine par symétrie ; variations ; tangentes particulière ; branches infinies ; tracé. Exemple (lemniscate).

• Exercice 7 de la feuille 8.
  

• Corrigé de l'interrogation 7.
• Cours :

  Les branches infinies d'une courbe en polaire. Exemple.
  

• Cours : exemple d'étude d'une branche infinie en polaire.

• TD : ex 9 et 8 de la feuille 8.

• Cours :

  Chapitre 7 : les coniques
  I) Définition par foyer-directrice.
  1) Généralités
  2) Equations
  Equations en polaire (l'origine du repère étant le foyer).

• TD : feuille 8, exercice 10 : 1, 2 et 3.

• Interrogation 8.
• Remise du DM5.
• Cours :

  b) Equation cartésienne d'une conique dans le repère polaire.

  II) L'ellipse
  1) Equation réduite
  Conséquences.
  

• Correction de l'interrogation 8.
• Cours :

  Equation de la tangente à l'ellipse.

  2) Etude bifocale de l'ellipse
  L'ellipse

• Cours :

  III) L'hyperbole
  1) Equation réduite
  Conséquences : symétries, représentation paramétrique, équation des tangentes.

• TD : Feuille 9 : ex. 1, 2 (1.) et 4. (1.).
  
• A faire pour Jeudi : ex. 5 feuille 9.
  

• Cours :

  Equation des asymptotes à l'hyperbole.
  2) Etude bifocale de l'hyperbole
  Fiche : Hyperbole .

• TD :ex. 4 et 5 feuille 9.

• Cours :

  IV) La parabole
  Equation réduite, représentation paramétrique et équation des tangentes. Propriété des tangentes.
  La parabole .

• TD : exercice 9.
  

• TD : ex 10 feuille 9 : les tangentes à une parabole.

• Cours :

  V) Courbes algébriques de degré 2
  1) Généralités
  Réduction d'un polynôme de degré en x et y dans un repère orthonormé. Discriminant.

  
  

• Exemples de tracés de courbes algébriques de degré 2 (ellipse, hyperbole).

• Une méthode pour déterminer le centre de symétrie.
  

• Réduction et tracé de coniques.

• TD sur les exemples et applications :Feuille 10 : ex 2. Ex 1 à finir.
  
• Note de cours sur la réduction des formes quadratiques.