PCSI A - mathématiques - Le cahier de texte 2009/2010

• 1) Définitions, généralités. z = a + ib, règles de calculs.
• 2) La conjugaison
  • a) Généralités. Partie réelle et imaginaire. Propriétés de la conjuguaison.
  • b) Module et inégalité triangulaire. Définition, propriétés, inégalité triangulaire (les 2 formes), démonstration à bien connaître.

c) Racine carrée dans C. (Méthode de calcul d'une racine carrée d'un nombre complexe.)

II) Trigonométrie et nombres complexes
1) Le groupe U

• a) Définition, notation exponentielle.
  Présentation de la notion de groupe. Notation e^(i\theta) et propriété.
  
• b) Trigonométrie.
  Le cercle trigonométrique. Paramétrisation rationnelle.
  

a) Argument d'un complexe non nul. (Définition, propriétés)

b) Ecriture trigonométrique d'un complexe non nul.

a) Racines n-ièmes d'un complexe.
(Définition et existence).

b) Les racines de l'unité.
Définition. Propriétés. Représentation graphique, illustration Maple. Somme.

III) Utilisations des nombres complexes
1) Equations algébriques
a) Généralités.
b) Résolution des équations du second degré dans C. (méthode, relations coefficients racines).

c) Equations X^n - a = 0 et 1 + X + ... + X^n =0
2) Expressions trigonométriques
a) Linéarisation

2) Expressions trigonométriques
b) Factorisation. (Les polynômes de Tchebychev).

Annexe : l'exponentielle complexe.