PCSI A - maths - Le cahier de texte 2010/2011

• Correction de l'interrogation 12.
• Cours Chapitre 12 : espaces vectoriels
  • I) Généralités
    • 1) Structure d'espace vectoriel

      Premiers exemples.
      

• TD : exercices 2 et 8 de la feuille 11.
  

• • 2) Constructions d'espaces vectoriels
  Espaces produits, K^n ; espaces d'applications A -> K ; polynômes.

• II) Sous-espaces vectoriels
  
  • 1) Généralités

    Définition et exemples importants à bien comprendre.
    

  
  

• Retour sur la notion de sous-espace vectoriel et exemple.
• • 2) Exemples
• TD : exercice 1, 1. et 2. de la feuille 12.

• Cours
  • 3) Espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs

  Exemples.

• TD : quelques D.L. Suite de l'exercice 1 de la feuille 12.

• Liste d'exercices à préparer pour l'interrogation de lundi : exercices interrogation 13 .
  Au moins un de ces exercices figurera dans l'interrogation.
  

• Interrogation 13.
• Retour sur les sous-espaces vectoriels et espaces engendrés par une partie.
• Exercice 4 de la feuille 12.

• Remise de l'interrogation 13.
• Cours :
  • 4) Somme de sous-espaces

    Sommes et sommes directes. Supplémentaires. Existence et unicité de la décomposition d'un vecteur de l'espace dans une somme directe.
    

  
  
• Exercice 5 de la feuille 12 : à finir.
  
• A préparer : ex. 3, 6 et 9 de la feuille 12.
  

• III) Applications linéaires
  • 1) Généralités Définition et exemples.
  • 2) Propriétés
• Exercice 5 : fin.

• Ex. 14 de la feuille 12 : linéaire ou pas ?
• Cours
  • 3) Image et noyau

    Définition et exemples. Propriétés : imf et kerf sont des sous-e.v. ; lien avec l'injectivité et la surjectivité.
    

  
  
• Demain : dernier délai pour le D.M.8. Préparer les ex. 6 et 9 de la feuille 12.
  

• Sommes et sommes directes : exercices 6 & 9 de la feuille 12.
• Détermination de noyaux et images : ex. 14.
• A faire :
  • Exercice 16 de la feuille 12.
  • lire les notes de cours sur les ensembles d'applications linéaires.

• Cours :
  • 4) Projecteurs et symétries d'un e.v.
    • Projecteurs : définition et propriétés ; caractérisation algébrique (pop=p).
    • Symétries : définition et propriétés ; caractérisation algébrique (sos=id).
  • TD : exercice 16 de la feuille 12 ; à finir.

• Cours :
  • 5) L'espace L(E,F) ; l'anneau L(E) et le groupe GL(E)

  Notes de cours.

• TD : fin de l'exercice 16 ; exercice 18 de la feuille 12.

• Pour demain : bien réviser pour l'interrogation de cours (questions et démonstration de cours).
  

• Interrogation de cours 14 : bilan d'algèbre linéaire.
• Cours : sous-espaces affines et équation linéaires. Notes de cours
• Cours : rappels sur les nombres réels. A la découverte de la notion de limite d'une fonction d'une variable réelle.

• Remise du DM 8 et de son corrigé .
• Remise de l'interrogation 14. Correction détaillée.
• A faire : le devoir maison 9 est à rendre le lundi 14 mars.

Chapitre 15 : dimension finie

• I) Famille de vecteurs
  
  • 1) Familles génératrices
    
  • 2) Familles libres
    
  • 3) Bases
    
  
  

• • 2) Dimension d'un espace vectoriel

    Notes de cours
    

    • 1) Définition de la dimension
      
    • 2) Caractérisation des bases

      Théorème de la base incomplète.
      

    
    

• • Caractérisation des bases (familles libres et maximale ou génératrice et minimale) ; exemples. Notes de cours .
  • 3) Isomorphismes avec K^n
• TD : exercice 2 de la feuille 15.

• Cours :
  • • 4) Dimension d'un espace produit
  • III) Dimension et sous-espaces vectoriels
    • 1) Généralités
• TD : ex 1 de la feuille 15 (1,2,4 & 5). A finir. Préparer l'exercice 6.

• • • 2) Somme de sous-espace
  Dimension du supplémentaire. Formule de Grassmann. Exemple d'utilisation : comment montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires ?

• • IV) Applications linéaires en dimension finie
    • 1) Image des bases
    • 2) Formule du rang

      Exemples et application aux endomorphismes.
      

  
  

Utilisations de la dimension : exercices 10, 14, 15 et 11 de la feuille 15.

• Interrogation 17.
• Cours :
  • V) Exemples d'utilisations de la dimension
    • 1) Interpolation polynomiale
    • 2) Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

      cf. Notes de cours : suites récurrentes linéaires d'ordre 2.
      Exemples.

• Cours : Chapitre 16 : Matrices
  • I) Matrices et calculs matriciels
    • 1) L'espace Mn,p(K)
• TD : exercice 19 de la feuille 15.

• Remise de l'interrogation 17.
• Cours :
  • 2) Produit matriciel
  • 3) Anneau des matrices carrées
  • 4) Matrices particulières

• Cours II) Matrices et applications linéaires
  • 1) Matrice de famille de vecteurs ; rang
  • 2) Matrice d'une application linéaire
  • 3) Interprétation du calcul matriciel

• Exercice 17 de la feuille 15 : utilisation de la dimension finie pour résoudre une eqd.
• Remise du dm11.
• Exercice 3 de la feuille feuille 16

sur les espaces de dimension finie.

• Cours
  • 4) Matrices carrées inversibles
• TD : ex 2 & 7 de la feuille 16.
• A faire : ex 10 de la feuille 16.

• Cours :
  • III) Changement de bases
    • 1) Généralités, matrice de passage
    • 2) Changement de base pour une application linéaire

      Cas des endomorphismes ; Cas général. Exemples.
      

    • 3) Matrices équivalentes

• Cours :
  • IV) Rang d'une matrice
    • 1) Généralités
    • 2) Méthode de calcul du rang

      Opérations élémentaires. Méthode du pivot de Gauss.
      

• • • 3) Interprétations des opérations élémentaires comme produit matriciel

      Application au calcul de l'inverse. Méthode du pivot de Gauss. Exemples.
      

  
  
• Exercice 10 de la feuille 16.
  
• A faire pour demain : ex. 16 & 18 de la feuille 16. Préparer un résumé du cours.
  

• Résumé du cours sur les matrices.
• TD : exercices 15 & 18 (changement de base en vue de diagonaliser ; calcul des puissances) de la feuille 16.
• Remise du ds7 et de son corrigé.
• A faire : devoir maison 12 pour préparer le concours blanc (partie algèbre linéaire et matrices).

Deux thèmes d'algèbre linéaire en dimension finie :

• Les systèmes linéaires ; les systèmes de Cramer. Notes de cours .
  
• Les déterminants en petites dimensions Notes de cours .
  

Programme de la semaine 25.

• Cours : suite sur les déterminants Notes de cours :
  • Déterminant d'une matrice. Propriétés.
  • Méthode pratique de calcul (développement /ligne ou colonne ; opérations élémentaires).
• Remise du concours blanc ; commentaires détaillés.

  Devoir maison 12 pour mardi.
  !! L'exercice complémentaire est à remettre le 17 mai 2011 à la place du problème si votre note au problème 1 du concours blanc est <15 !!

• Cours : déterminant d'un endomorphisme. Systèmes de Cramer et déterminants. Notes de cours
• TD : ex 2, 4 et 6 de la fiche déterminants.

• Cours : Chapitre 18 : espaces euclidiens.
  • I) Produits scalaires et normes
    • 1) Produits scalaires : généralités et exemples
    • 2) Norme Définition et exemples.
• TD intégration : ex 9 de la feuille 17.

• Cours :
  • • 2) Norme

      L'inégalité de Cauchy-Schwarz et ses multiples conséquences.
      

  • II) Orthogonalité et familles orthonormées
    
    • 1) Généralités
      
  
  
• TD intégration : ex 12 de la feuille 17.
  

• Exercice sur les produits scalaires : ex. 4 de la feuille 18.
• Cours :
  • • 2) Bases orthonormées Propriétés des B.ON.

• Cours :
  • • 3) Construction de BON Méthodes (procédé de Gramm-Schmidt) et exemples.
• Remise du DM13 et commentaires.

• III) Orthogonalité et sous-espaces
  • 1) Généralités

    Le supplémentaire orthogonal (en dimension finie).
    

  • 2) Projecteurs orthogonaux

    Distance à un sous-espace.
    

  
  

• Cours :
  • 3) Symétries orthogonalse
• III) Automorphismes orthogonaux
  • 1) Généralités

    Définition et caractérisations. L'image d'une BON est une BON.
    

  
  
• TD : ex. 7 de la feuille 18.
  
• Remise du ds 9.
  

• Cours :
  • 2) Matrices orthogonales
  • 3) Classifications et étude pratique

    Automorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3.
    

  
  

• Cours :
  • 3) Classifications et étude pratique des automorphismes orthogonaux

    Automorphismes orthogonaux en dimension 2 et 3.
    Exemples.

  
  
• TD : exercice 12 de la feuille 18.