PCSI A - maths - Le cahier de texte 2010/2011

• Chapitre 9 : nombres réels et suites
  • I) Nombre réels
    • 1) Généralités
    • 2) Caractérisation de R

      Borne supérieure.
      

• TD : exercices 13 1 & 2 de la feuille 8.
  

• Cours :
  • 3) Intervalle de R
  • 4) Partie entière

    Approximation décimale ; densité des rationnels
    

• TD feuille 9 : exercices 1 & 2 (1 et 2).
  
• A faire : exercices 4 & 7 de la feuille 9.
  

• Cours : II) Limite d'une suite
  • 1) Vocabulaire
  • 2) Suite convergente Définition de la notion de limite ; premières propriétés.
  • 3) Calculs de limites
    • a) Opérations algébriques
• Ex. 4. 1. de la feuille 9.

• Cours :
  • b) Théorème de comparaison
  • 3) Limites infinies Formes indéterminées.
• TD : suite & fin de l'ex. 4.

• Cours : III) Théorèmes d'existence de limite
  • 1) Suites monotones

    Exemples.
    

  
  
• TD : exercices 5.1 et 7 de la feuille 9.
  

• Cours :
  • 2) Suites adjacentes
  • 3) Suites extraites

  Utilisations des suites extraites pour justifier la non convergence.

• TD : ex 13 de la feuille 9.

• A faire : exercices 8, 9 et 10.

• IV) Relations de comparaison
  • 1) Relation O
  • 2) Relation o
  • 3) Relation d'équivalence
• TD : exercice 8 de la feuille 9.

• Exercice 10 de la feuille 9 : illustration des théorèmes d'existence de limite.
• Exercice 14.
• Exercice 19 : à finir.
• Remise du DS4.

• Interrogation 10 suivi de la correction
• Feuille 9 exercices 19, 21 (1.) et 23 de la feuille 9.
• A faire pour vendredi : exercice 24 de la feuille 9 (vers un développement asymptotique).

• Etude d'une suite définie par une relation de récurrence u_{n+1} = f(u_n) : notes de cours disponible ici .
  • Généralités ;
  • Cas où la fonction f est croissante ; exemples.
• A faire pour demain : si votre note à l'interrogation 10 est <5.5 refaire sur feuille l'interrogation (partie cours) en copiant 10 fois la définition de limite.

• Etude d'une suite définie par une relation de récurrence u_{n+1} = f(u_n) : notes de cours disponible ici .
  • Application de la méthode vue hier ;
  • Cas où la fonction f est décroissante ; exemples.

• Chapitre 11 : les développements limités
  • I) Généralités
    • 1) Position du problème
    • 2) La formule de Taylor

      Liste des développements limités usuels
      

    • 3) Relation de comparaison : O, o et ~
      
    
    
  
  

• II) Opérations sur les D.L.
  • 1) Linéarité
  • 2) Produit
  • 3) Composition
  • 4) Inverse et quotient
  • 5) Intégration
  Exemples.

• Cours : III) Applications des D.L.
  • 1) Calculs de limites et équivalents
  • 2) Asymptote
• Calculs de D.L. Vous trouverez de quoi vous entrainez dans la feuille de TD 11 .
• Remise du ds5 et de son corrigé .
• A faire pour lundi :
  • Bien vous préparer à l'interrogation de cours qui portera sur le calcul de D.L.
  • Lire les notes de cours concernant l'allure locale des courbes paramétrées disponible ici .

• Interrogation 12.
• Cours :
  • 3) Allure locale des courbes paramétrées

  Notes de cours disponibles : ici .
  Exemples.
  

• TD : ex. 2. 3. de la feuille 11.
  
• Devoir maison 8 à rendre le jeudi 17 février.
  

• Cours : Chapitre 13 : fonctions d'une variable réelle. Limite et continuité.
  • Vocabulaire sur les fonctions.
  • I) Limite d'une fonction
    • 1) Généralités

      Définition des diverses formes de limites (en un point, en l'infini, à droite, à gauche...).
      Premières propriétés.

    
    
  
  

• Notes de cours du chapitre 13 : ici .
• Cours :
  • 2) Comment calculer des limites ?

  Inégalités, opérations algébriques, outils de comparaison, composition.
  

• TD : exercices 5 et 7 (a,b) de la feuille 13.
  
• A faire : continuer l'exercice 7.
  

• Notes de cours du chapitre 13 : ici .
• Cours :
  • 3) Caractérisation séquentielle de la limite
  • 4) Fonctions monotones
• TD : ex 7 de la feuille 13, fin.
• A faire : ex. 4 et ex. 8 de la feuille 13.

• Notes de cours du chapitre 13 : ici .
• II) Continuité en un point
  • 1) Généralités
  • 2) Prolongement par continuité
• III) Continuité sur un intervalle
  • 1) Généralités
  • 2) Théorème des valeurs intermédiaires
• TD : ex. 8 & 11 (à finir) de la feuille 13.

• Notes de cours du chapitre 13 : ici .
• III) Continuité sur un intervalle
  • 3) Continuité sur segment
  • 4) Théorème de la bijection
• A faire : ex. 12 & 13 de la feuille 13.

• TD :
  • Rédiger en utilisant la définition de limite : ex. 4.
  • Utiliser la continuité pour démontrer : 12, 13 (1.) et 15 de la feuille 13.
• Remise du dm 9.

• Chapitre 14 : dérivabilité des fonctions d'une variable réelle
  • I) Dérivabilité en un point ; fonction dérivée
    • 1) Généralités

      Définitions et interprétations géométriques ; lien avec les D.L. à l'ordre 1.
      

  • 2) Extremum
    
  
  
• TD : ex. 20 & 24 de la feuille 13.
  

• Interrogation 15.
• Cours :
  • 3) Opérations sur les nombres dérivés

    Somme, produit, inverse. Composition et réciproque.
    

  • 4) Dérivées successives
    Formule de Leibniz.
    
  
  

• Cours :
  • 5) Espaces fonctionnels
  • II) Dérivabilité sur un intervalle
    • 1) Théorème de Rolle
    • 2) Accroissements finis

      Egalité et inégalité des A.F. Fonctions lipschitziennes.
      

• Ex. 1 de la feuille 14.
  

• Cours :
  • 3) Dérivabilité
  • III) Utilisations de la dérivabilité
    • 1) Variations et extremum

      Exemple d'un problème d'optimisation.
      

• Devoir maison 10 à faire pour le 4 avril .
  

• Exercice 2 de la feuille 14 : comment rédiger la continuité, dérivabilité, la classe C1 pour une fonction d'une variable réelle ?
• Exercice 5 de la feuille 14 : une utilisation du théorème de Rolle dans un contexte algébrique.
• A chercher : feuille 14, ex. 6, 9, 11 et 12.
• Remise du ds6.

• Cours :
  • III) Applications de la dérivabilité
    • 2) Utilisation des accroissements finis : étude des suites récurrentes

      Deux exemples de suites récurrentes ; illustration Maple.
      

  
  
• TD : exercice 9 de la feuille 14; accroissements finis pour étudier une série.
  

• IV) Fonctions convexes

  Notes de cours.

  Définition et interprétation géométrique ; utilisation de la dérivabilité. Exemples d'utilisation de la convexité.
  

• Remise et correction de l'interrogation 16.
• Exercice 11 de la feuille 14 : utilisation du théorème de Rolle.
• Exercice 16 de la feuille 14 : convexité.

Chapitre 17 : intégration sur un segment

• Construction de l'intégrale et principales propriétés : notes de cours.
  
• I) L'inégalité de la moyenne

  Exemple d'utilisation.

• II) Intégration et dérivation
  
  • 1) Primitives

    Rappels. cf cf fiche.
    

  
  

• • 2) Le théorème fondamental
• III) Méthodes de calcul d'intégrales
  • 1) IPP Exemples.
  • 2) Le changement de variable Exemples.

• Cours : exemples de changement de variables. La fonction t->exp(-t^2) ; illustrations Maple. Changement de variable affine.
  • 3) Fonctions définies par une intégrale : exemple
• TD : ex. 2 de la feuille 17.
• Pour demain : chercher des intégrales dans les ex. 5 et 6.

• Calculs d'intégrales et de primitives : ex. 5, 6 & 8.
• Remise du DM 12 et de son corrigé.
• Lundi : interrogation de cours.

• Interrogation 18 et correction.
• Cours : IV) Approximation d'intégrales cf. notes de cours.
  • 1) Sommes de Riemann
  • 2) Méthode des trapèzes
  Illustrations Maple et vérifications numériques de la convergence des méthodes.
• TD : ex. 11 ; démonstration de la convergence des sommes de Riemann.

• Cours : V) Applications du calcul intégral cf. notes de cours.
  • 1) Formule de Taylor avec reste intégral
  • 2) Longueur d'arc
• TD : ex. 8 g)

Travail sur exercice "type problème" : les intégrales de Wallis (ex. 21 de la feuille 17).

• Cours : Chapitre 19 : fonctions de deux variables réelles
  • I ) Généralités
    • 1) Topologie du plan
    • 2) Représentation des fonctions de deux variables

      Notes de cours.
      

  
  
• TD : ex. 14 & 17 de la feuille 18 (espaces euclidiens). Notes de cours sur les réflexions.
  

• Cours : Notes de cours.
  • 3) Limites et continuité
  • II) Calcul différentiel
    • 1) Dérivées directionnelles
    • 2) Fonctions de classe C1

      Théorème fondamental.
      

    
    
  
  

• Cours : Notes de cours. Le gradient.
• TD : ex. 1 & 2 de la feuille 19.
• A faire : ex 3.

• Cours : Notes de cours. Différentielles des fonctions composées.
• Correction de l'exercice 3 de la feuille 19.
• Interrogation 19.
• A faire : ex. 5.

• Cours : Notes de cours. Dérivées partielles secondes.
• Correction de l'exercice 5 de la feuille 19.
• Interrogation 19 : correction.

• III) Notions sur l'intégrale double
  • 1) Généralités
  • 2) Intégration sur un rectangle

    Théorème de Fubini.
    

  • 3) Intégration sur un domaine plus complexe
    
    
    
    • a. Intégration par tranches.
      
    • b. Passage en coordonnées polaires.
      
    
    
  
  
• TD : exercice 15 de la feuille 19.
  

• IV) Champs de vecteurs
  • 1) Généralités
    • Définitions, représentation des champs de vecteurs.
    • Champs dérivant d'un potentiel scalaire et lemme de Poincaré.

• IV) Champs de vecteurs
  • 2) Intégrales curvilignes
    • Définitions ; calculs.
    • Formule de Green-Riemann.
  • Ex. 18 de la feuille 19.