PCSI A - maths - Le cahier de texte 2010/2011

• Interrogation 3 ; correction.

• Remise du DM1 et de son corrigé .

• Fin du travail de révision sur la notion de primitive .

• Devoir maison 2 à rendre le jeudi 14 octobre.

• Cours. Chapitre 3 : équations différentielles linéaires
  • Préambule : qu'est-ce qu'une eqd ? Des exemples en maths, en physique et en chimie. Qu'est-ce que résoudre une eqd ? Présentation avec Maple : la fonction dsolve.
  • Préliminaires : Caractérisation de la fonction t -> exp(at)
    • Solution du problème de Cauchy : y'=ay ; y(0)=1.
    • Solution de l'équation fonctionnelle : f(t+u) = f(t)f(u).
  • A faire pour jeudi : si votre note à l'interrogation 3 est <3, vous devez refaire sur feuille l'interrogation et me la rendre jeudi.

  
  

Cours :

• I) Equations différentielles linéaires d'ordre 1
  
  • 1) Généralités

    Forme résolue en y' : (E) y' = a(t)y + b(t)
    

  • 2) Equation homogène
    Résolution de (E0) y' = a(t)y lorsque a est continue sur I.

  • 3) Equation complète
    
    • a) Structure des solutions :

      Solutions de (E) = Solution particulière de (E) + Solutions de (E0)
      

    
    

  
  

• Cours :
  • b) Méthode de la variation de la constante
  • c) Le principe de superposition
  • d) Résumé :

    Existence et unicité de la solution au problème de Cauchy y' = a(t)y+b(t) et y(t_0)=y_0.
    

• TD ex 1 (b) & (c) de la feuille 3 sur les équations différentielles.

• TD : équations non résolues en y' : comment s'y prendre ? Comment recoller les solutions ? Exercice 6 de la feuille 3.

• Cours :
  
  • II) Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.
    
    • 1) Equation homogène.

      Equations caractéristique.
      Le cas complexe.
      

    
    
  
  

• Démonstration des théorèmes sur l'ensemble des solutions de l'équation : ay'' + by' + cy = 0.
  • a) Cas complexe
  • b) Cas réel

    Régimes apériodiques, critiques et pseudo-périodiques.
    

  
  cf. fiche .

• Exemples.
  

• Cours :
  • 3) Equations avec second membre
    • a) Structure de l'ensemble des solutions : sol. particulière + sol. de l'eqd homogène associée.
    • b) Principe de superposition
    • c) Détermination d'une solution particulière lorsque f est d'un type exp * polynôme. cf. fiche .
  • 4) Récapitulatif
• A faire pour vendredi : ex 11 de la feuille 3 .

• Exemple de résolution complet d'une eqd d'ordre 2 à coefficients constants et second membre. Illustration Maple.
• Exercice 11 de la feuille 3 ; lien avec un système physique, phénomène de résonance.
• Remise du ds 2.