PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Calcul Matriciel".

• Définition et Interprétations
  • Définitions et vocabulaire
    • Définition d'une matrice de dimension m x n à coefficients dans K. Cas particulier : vecteur colonne ; vecteur ligne ; matrice carrée d'ordre n à coefficients dans K. Exemples importants : matrice nulle ; matrice identité ; matrice d'homothétie de rapport k.
    • Matrices structurées : matrice diagonale ; matrice triangulaire supérieure ; matrice triangulaire inférieure.
  • Différentes interprétations
    • Représentation d'une famille de vecteurs écrits dans une base ; famille canoniquement associée à une matrice.
    • Représentation matricielle d'une application linéaire. application linéaire canoniquement associée à une matrice. Bijection entre l'ensemble des applications linéaires de E vers F et l'ensemble des matrices de dimension m x n

Pour faire un bilan du chapitre précédent : exercices 1 et 16 (le 1. b) est moins une question de cours qu'un exercice de réflexion) ; Pour pratiquer : exercices 15 et 19. Dans l'exercice 19, vous pouvez en plus déterminer une base du noyau et de l'image pour chaque exemple demandé. Pour réfléchir sur le cours : exercices 14, 21 et celui énoncé jeudi.

• Interrogation écrite 19 ;
• Opérations matricielles
  • addition de matrices. Propriétés. Interprétation en terme d'application linéaire.
  • multiplication par un scalaire. Propriétés. Interprétation en terme d'application linéaire.
  • Structure d'espace vectoriel des matrices de dimension mxn. Matrices élémentaires et dimension de l'espace vectoriel des matrices mxn. Isomorphisme avec l'espace vectoriel des applications linéaires de E vers F.

• Opérations matricielles
  • Produit matriciel. Propriétés. Interprétation en terme d'application linéaire.
  • L'algèbre des matrices carrées. Non commutativité du produit. Définition d'une matrice inversible.

• Opérations matricielles
  • L'algèbre des matrices carrées (suite). Groupe linéaire. Caractérisation de l'inversibilité en terme d'application linéaire.
  • Transposition. Propriétés. Sous-espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétriques.
• Représentation matricielle d'une application linéaire : retour.
  • Changement de base. Matrice de passage. Formule de changement de coordonnées.

• représentation matricielle d'une application linéaire.
  • Formule de changement de bases à l'aide des matrices de passage.

Exercice 1 (Paragraphe 1, TD 19). à reprendre et finir impérativement.

• Représentation matricielle d'une application linéaire
  • Calcul du noyau et de l'image.
  • Pratique du pivot de Gauss : opérations élémentaires ; rang d'une matrice ; calcul pratique de l'inverse

La présentation de ce qu'on fera brièvement demain.

Le DM 17 porte sur la partie 1 du problème accessible ici. À rendre pour le 26 mai.

Pour demain calculer l'inverse de la matrice donnée à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes de la matrice à laquelle on adjoint la matrice identité.

Calcul de l'inverse (suite et fin). Déterminants.

Pour demain Exercices 2 et 3 a) et 5 (TD 19, paragraphe 1) ; exercice 2 a) et c) (paragraphe 2) à faire.

exercices traités : exercices 2 ; 3a) et c).
À faire pour mardi exercices 5, exercice 2a) et c) ; exercice 3.

Suite du chapitre "Calcul intégral".

• Propriétés de l'intégrale
  
  
  
  • Positivité ; linéarité ; relation de Chasles ;
    
  • Fonction continue positive et intégrale : la nullité de l'intégrale entraîne que la fonction est identiquement nulle sur le segment ;
    
  • Quelques inégalités importantes : comparaison ; valeur absolue et intégrale ; inégalité de la moyenne ;
    
  • Théorème fondamental de l'intégration ;
    

exercice 2 a) (TD 19, paragraphe 2).
Distribution de la feuille de TD 20 sur le calcul intégral.
Vous pouvez d'ores et déjà regarder les exercices 1 et 2.