PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Espaces vectoriels de dimension finie"

• Qu'est-ce qu'une base ? dans le plan ? dans l'espace ?
• Notions de famille génératrice ; libre/liée ; de base.
  • Définition d'une famille génératrice. Exemples fondamentaux.
  • Définition d'une famille libre/liée. Exemples fondamentaux de familles libres.
  • Définition d'une base. Base canonique de K^n ; de K_n[X]. Caractérisation d'une base. Coordonnées d'un vecteur dans une base.

Pour demain traiter les exercices demandés.

L'essentiel du cours.

• Correction des exercices sur les familles libres ; la linéarité de la i-ème forme coordonnée dans une base.
• Notion de dimension
  • Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Exemples.
  • Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie.
    • Théorème de la base incomplète et existence de base.
    • La dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une base (qui ne dépend donc pas de la base choisie). Exemples classiques : K^n ; K_n[X].
    • Cardinal d'une famille libre ; d'une famille génératrice. Caractérisation d'une base comme une famille libre maximale ; une famille génératrice minimale.

Distribution de la feuille de TD 18 sur les espaces vectoriels de dimension finie ;

Exercices complémentaires sur les D.L. et les espaces vectoriels de dimension finie.

Exercices de la feuille complémentaire.

A terminer : l'étude des branches infinies de l'exercice 2 ; l'étude locale au point singulier en t=-1 de l'exercice 1. On poursuivra l'étude de l'arc paramétré de l'exercice 1 demain en fin de séance.

Exercices que l'on traitera en partie demain : Exercices 6 ; 2 et 3 de la feuille de TD 18

Reprise du chapitre "Espaces vectoriels de dimension finie"

• Notion de dimension
  • Exemple fondamental : espace produit E x F ;
• s.e.v. d'un espace vectoriel E de dimension n
  • dim(F) inférieure ou égale à n avec égalité si et seulement si F=E ;
  • Existence de supplémentaire ;
  • Formule de Grassmann donnant la dimension de F+G ; différentes caractérisations de deux s.e.v. supplémentaires.

Pour lundi Petits exercices donnés en cours. Exercices 6 ; 2 et 3 (TD 18) en priorité (privilégiez le a) et le b) de chacun). Les exercices 13 et 14 illustrent ce qui a été vu aujourd'hui. Vous pouvez y réfléchir.

• Sous-espaces vectoriels en dimension finie
  • Supplémentaires. Exemple d'emploi des critères vus : problème 1 du concours blanc.
• Applications linéaires
  • L'image d'une base est une famille génératrice de l'image.
  • Conséquences : représentation matricielle d'une application linéaire (l'agencement dans un tableau sera vue au prochain chapitre) ; dimension de l'espace vectoriel des applications linéaires L(E,F).
  • Caractérisation des isomorphismes : injectivité et dimension ; surjectivité et dimension ; espaces vectoriels isomorphes et dimension ; caractérisations d'un isomorphisme ; exemples d'emploi.

Exercice 2. suite et fin. Exercice 3 a). Début de l'exercice 11. Quelques éléments méthodologiques : indépendance linéaire d'une famille de fonctions ; détermination d'une base de F+G et F/\ G via un échelonnement de matrice (le mettre en oeuvre pour finir l'exercice 11)

Suite et fin du chapitre "Espaces vectoriels de dimension finie"

• Applications linéaires
  • Caractérisation de l'injectivité ; la surjectivité ; la bijectivité via l'image d'une base.
  • Théorème du rang.
    • Caractérisation d'une application linéaire bijective ;
    • Application à la résolution d'un système linéaire. Rang d'un système linéaire. Cas d'un système homogène : dimension de l'espace vectoriel des solutions. Retour sur le pivot de Gauss : pourquoi ça marche ? Exemple.

Pour demain. Exercices 18 et 19.

• Systèmes linéaires Cas inhomogène. Résumé de ce qu'il faut savoir
• Fin de l'exercice 11. Exercices 18 et 13.

Exercices complémentaires d'algèbre linéaire.