PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Espaces vectoriels euclidiens".

• Produit scalaire.
  
  
  
  • Définition. Exemples classiques. Norme associée à un produit scalaire.
    
  • Quelques (in)égalités : identité de polarisation ; identité du parallélogramme ; inégalité de Cauchy-Schwarz.
    

  Pour demain Montrer que le produit scalaire de l'espace vectoriel des matrices carrées vu en cours est bien un produit scalaire.

• Définition de produit scalaire et Exemples classiques
  • Démonstration de l'inégalité Cauchy-Schwarz. Cas d'égalité : suite et fin.
  • Propriétés de la norme associée à un produit scalaire.
  • Définition d'espace vectoriel euclidien.
• Orthogonalité
  • Relation d'orthogonalité. Définition.
  • Famille orthogonale/orthonormée.
    • Définition. Théorème de Pythagore.
    • Base orthogonale/orthonormée. Expression d'un vecteur dans une base orthonormée.
  • Procédé de Gram-Schmidt. Principe dans R^3.

Distribution de la feuille de TD 22 sur les espaces vectoriels euclidiens.

Pour demain Faire les exercices demandés sur les familles orthonormées.

• Orthogonalité
  • Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Exemple dans R^3 : procédé d'orthogonalisation. Description du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt dans le cas d'un espace vectoriel euclidien. Conséquence : tout espace vectoriel euclidien possède au moins une base orthonormée.

  Exercice 4 (TD 22), c).
  

Pour demain Exercices 1 ; 2 4 a et b (TD 22). Rappel. Exercices du vendredi 11 juin !

• orthogonalité
  • sous-espaces vectoriels orthogonaux.
  • symétries et projections orthogonales. Définition de projection orthogonale. Caractérisation. Expression dans une B.O.N.. Définition de symétrie orthogonale.

• orthogonalité
  • Symétrie et projection orthogonale. Caractérisation d'une symétrie.
  • Distance euclidienne. Distance à un sous-espace vectoriel
• Automorphismes orthogonaux
  • Définition et propriétés. Groupe orthogonal O(E). Image d'une B.O.N.

Pour demain. Exercices 5 a) et 8.

Rendu et commentaires sur le dernier DS

• automorphismes orthogonaux
  • matrices orthogonales.

exercice 5 a)

A faire Exercices 7 ; 8 et 10. Le dernier fait intervenir l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

• automorphismes orthogonaux

  • automorphismes orthogonaux du plan ;
    
  • automorphismes orthogonaux de l'espace.