PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

• Structures algébriques (suite et fin).
  • Groupes. Caractérisation de l'injectivité d'un morphisme à l'aide du noyau (démonstration). Exemples de morphisme ; de noyau ; d'image.
  • Anneau. Définition. Anneau commutatif. exemples. Corps. Définition et exemples.
• Début du chapitre "Généralités sur les Espaces Vectoriels".
  • Introduction : qu'ont de commun le "plan vectoriel" ; l' "espace vectoriel "usuel"" et l'ensemble des applications de I dans R ?
  • Définition et Exemples fondamentaux. Définition d'un K-espace vectoriel. Premières propriétés sur les règles de calcul. Le K-espace vectoriel K^n ; le K-espace vectoriel K[X].

• Exemples fondamentaux (suite) : K-espace vectoriel des applications de X dans K.
• Sous-espaces vectoriels.
  • Définition et premiers exemples ;
  • Notion de combinaison linéaire. Caractérisation d'un s.e.v..

Distribution du DM 12 sur les polynômes. A rendre pour mercredi 10 mars.

• Sous-espaces vectoriels
  • Caractérisation d'un s.e.v. (suite).
  • Exemples d'espaces vectoriels réalisés comme s.e.v. Quelques exemples d'espaces fonctionnels et d'espaces de suites réelles.
  • Intersection de s.e.v. ; s.e.v. engendré par un sous-ensemble. Cas d'un sous-ensemble fini : caractérisation et début de la démonstration.

• Sous-espaces vectoriels.
  • Caractérisation d'un s.e.v. engendré par une famille finie de vecteurs : suite et fin de la démonstration ; exemple d'emploi.
  • Somme F+G de deux s.e.v. F et G. Caractérisation comme le s.e.v. engendré par FUG. Exemple dans R^3.

• Terminer l'exemple de "calcul" de somme de s.e.v. traité en cours (pourquoi la somme est égale à R^3 ?) ;
• Exercices 1 et 2 donnés en cours à faire.

Interrogation écrite 17.

Suite du cours : supplémentaires. Exemples. Caractérisation en terme d'unicité d'écriture.

Exercices 1 et 3 corrigés.

Pour demain Exercice 1 (TD 15) à faire.

• Applications linéaires.
  • Définition. Exemples. Endomorphime ; isomorphisme ; automorphisme et forme linéaire.
  • Noyau et image d'une application linéaire. Condition d'injectivité d'une application linéaire.

Exercices 1 ; 2 et 3 (TD 15, paragraphe 1). Exercice 3 a) (paragraphe 2).

Pour demain Exercice 3 à finir. Exercice 4 (paragraphe 1) à regarder.

Exercice 3 (paragraphe 2) : suite. Retour sur l'interprétation géométrique des espaces vectoriels R^2 et R^3.

Finir l'exercice 3

• Fin de l'exercice 3 (paragraphe 2) ;
• Applications linéaires et opérations. Structure de K-e.v. des applications linéaires de E dans F. Composition d'applications linéaires. Structure d'anneau de l'ensemble des endomorphismes de E. Groupe linéaire de E ;
• Exercice 4. A finir pour lundi

Suite et fin du chapitre " Généralités sur les espaces vectoriels".

• Applications linéaires (suite et fin). Définition de projecteurs. De symétries. Exemples géométriques. Exemples fonctionnels.
• Début de l'exercice 7 (a) ; (b) (Paragraphe 2)

• Exercices sur les applications linéaires : fin de l'exercice 7 ; exercice 5 (a) ; exercice surnuméraire
• A faire pour jeudi. Finir l'exercice surnuméraire ; exercice 5 (b).

• Notion de limite ; continuité en un point
  • Limite en +/- l'infini. Définition .
  • Caractérisation séquentielle de la limite.
  • Limites et inégalités. Passage à la limite dans les inégalités ; limite non nulle : existence d'un voisinage où la fonction ne s'annule pas. Théorème des gendarmes.
  • Limites et opérations : somme ; produit ; quotient ; composition.
• TD. correction des exercices d'algèbre linéaire demandés mardi.

• Continuité- dérivabilité. exercices 1 ; 7 ; 8 et 4.
• Algèbre linéaire. Début de l'exercice 1 donné en TD.

Distribution d'un résumé sur les définitions de limite et d'un recueil des théorèmes vus avec leur démonstration.

• Continuité sur un intervalle
  • Continuité d'une fonction monotone. Théorème de la bijection continue ;
  • Continuité des fonctions lipschitziennes.

• Dérivabilité
  
  
  
  • Dérivabilité en un point : Définition ; caractérisation en terme d'approximation affine ; dérivabilité implique continuité (réciproque fausse).

• TD.
  • Espaces vectoriels. Correction de l'exercice 1 ;
  • Continuité-dérivabilité. Retour sur l'exercice 8 (TD 16, paragraphe 1) : contre-exemple. exercice 16 excepté le (f).
• Cours.
  • Dérivabilité
    • Dérivée et opérations algébriques ;
    • Composition ; fonction réciproque.
• Pour demain Exercice 16, question (f).