PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Calcul intégral"

• Construction de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux
  • Cas d'une fonction en escalier
    • Définition d'une subdivision ; d'une subdivision régulière ;
    • Définition d'une fonction en escalier sur un segment ; subdivision adaptée à une fonction en escalier ; structure de R-algèbre de l'ensemble des fonctions en escalier sur un segment ;
    • Intégrale d'une fonction en escalier. Définition ; propriétés : comparaison ; linéarité ; relation de Chasles.
  • Fonctions continues par morceaux : définition ; structure de R-algèbre ; théorème d'approximation uniforme par des fonctions en escalier (admis) ;
  • Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

Suite du chapitre "Calcul intégral".

• Propriétés de l'intégrale
  
  
  
  • Positivité ; linéarité ; relation de Chasles ;
    
  • Fonction continue positive et intégrale : la nullité de l'intégrale entraîne que la fonction est identiquement nulle sur le segment ;
    
  • Quelques inégalités importantes : comparaison ; valeur absolue et intégrale ; inégalité de la moyenne ;
    
  • Théorème fondamental de l'intégration ;
    

exercice 2 a) (TD 19, paragraphe 2).
Distribution de la feuille de TD 20 sur le calcul intégral.
Vous pouvez d'ores et déjà regarder les exercices 1 et 2.

• Brefs commentaires sur l'intégrale d'une fonction à valeurs complexes ;
• pratique du calcul intégral
  • Intégration par parties ;
  • Changement de variable ;
  • Intégrale d'une fraction rationnelle ;
  • Intégrale d'une fraction en cosinus et sinus

Pour s'entraîner traiter les intégrales relatives aux règles de Bioche ; comparer avec le changement de variable qui marche tout le temps.

Vous pouvez d'ores et déjà regarder l'exercice 5 tout particulièrement les exemples avec indication.

• Pratique du calcul intégral
  • Exemples de calcul avec la règle de Bioche ;
• Sommes de Riemann. Approximation d'une intégrale à l'aide des sommes de Riemann.

Exercice 5 e)

Exercice 5 a) ; f) ; h) ; l) ; Exercice 1 ; Exercice 4 a).

Exercice 4 a) fin ; exercice 6. Début de l'exercice 7. À finir pour vendredi prochain.