PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Propriétés de N. Combinatoire."

• Propriétés de N
  • Principe de récurrence ;
  • Démonstrations par récurrence : simple ; forte ; avec prédécesseur. Application(s) dans le contexte des suites définies par récurrence. Exercice 2 a) et b) ( TD 11 )
  • Relation d'ordre : tout sous-ensemble non vide possède un plus petit élément.

Pour demain Faire l'exercice 1 et rédiger la récurrence de l'exercice 2 b). Relire les définitions d'application injective ; surjective et bijective.

• Propriétés de N (suite)
  • Relation d'ordre : Tout sous-ensemble non vide majoré de N a un plus grand élément ;

  • Arithmétique : division euclidienne ; décomposition en facteurs premiers.
    
  
  
• Notion d'ensemble fini.
  
  
  
  • Définition en terme de bijection ; cardinal d'un ensemble fini ; cardinal d'un sous-ensemble d'un ensemble fini ;
    
  • Opérations sur les ensembles finis : cardinal d'une réunion disjointe.
    
  
  

A faire pour demain Exercice 1 a) (Feuille d'exercices complémentaires)

• Notion d'ensemble fini (suite)
  • opérations sur les ensembles : réunion de deux sous-ensembles finis ; cas d'une partition ; produit cartésien d'ensembles finis.
• Applications entre ensembles finis
  • bijection et cardinal ; condition nécessaire pour qu'une application soit injective, surjective, bijective ; caractérisation d'une application bijective.
  • Cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble E vers un ensemble F.
  • Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble E

  A faire pour demain Exercices 5 a) et 9 (TD 11) et exercice 4 (exercices complémentaires).

• Fin du cours : ensemble des permutations d'un ensemble E vers un ensemble F ;
• Exercices sur les applications et le dénombrement : Exercices 1 ; 5 a) et 8 b) (TD 11) ; principe des tiroirs
• Exercices sur l'arithmétique : nombres de Mersenne.

Pour demain lire le résumé sur les relations d'ordre. Réfléchir aux exercices 4 (TD 11) et exercice 5 ( TD complémentaire )

• Début du chapitre "Corps des nombres réels". Il s'agit de donner dans ce chapitre les propriétés essentielles de R. Tout particulièrement : la propriété de la borne supérieure ; la propriété d'Archimède.
  • Généralités sur les relations d'ordre. Définition. Exemples. Minimum ; maximum. Minorant ; majorant. Sous-ensemble minoré ; majoré ; borné. Notion de borne supérieure et borne inférieure.
  • Propriété de la borne supérieure de R.
• Combinatoire : exercice 4 (TD 11).