PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "continuité-dérivabilité".

• Intervalles de R : notion d'intérieur ; d'adhérence.
• Vocabulaire de base. Opérations sur les fonctions ; relation d'ordre ; fonctions sup(f,g) ; inf(f,g) ; |f|. (Stricte) monotonie. Fonctions minorées ; majorées ; bornées ; bornes inférieure et supérieure d'une fonction. Rappels brefs sur la parité et la périodicité.

• Notion de limite ; continuité en un point.
  
  • Notion de voisinage.
    
  • Notion de limite : limite finie en x_0 ; unicité de la limite ; limite à gauche ; limite à droite.
    
  
  

• Notion de limite ; continuité en un point
  • Limite en +/- l'infini. Définition .
  • Caractérisation séquentielle de la limite.
  • Limites et inégalités. Passage à la limite dans les inégalités ; limite non nulle : existence d'un voisinage où la fonction ne s'annule pas. Théorème des gendarmes.
  • Limites et opérations : somme ; produit ; quotient ; composition.
• TD. correction des exercices d'algèbre linéaire demandés mardi.

• limite ; continuité en un point
  • Cas d'une fonction monotone. Théorème de la limite monotone.
  • Continuité en un point. Propriétés résultant de l'existence d'une limite finie.
• Continuité sur un intervalle
  • Théorème des valeurs intermédiaires et conséquences ;
  • Cas d'un fonction continue sur un segment. Théorème des bornes atteintes.

Pour lundi Finir l'exercice 1 ; faire l'exercice 7.

• Continuité- dérivabilité. exercices 1 ; 7 ; 8 et 4.
• Algèbre linéaire. Début de l'exercice 1 donné en TD.

Distribution d'un résumé sur les définitions de limite et d'un recueil des théorèmes vus avec leur démonstration.

• Continuité sur un intervalle
  • Continuité d'une fonction monotone. Théorème de la bijection continue ;
  • Continuité des fonctions lipschitziennes.

• Dérivabilité
  
  
  
  • Dérivabilité en un point : Définition ; caractérisation en terme d'approximation affine ; dérivabilité implique continuité (réciproque fausse).

• TD.
  • Espaces vectoriels. Correction de l'exercice 1 ;
  • Continuité-dérivabilité. Retour sur l'exercice 8 (TD 16, paragraphe 1) : contre-exemple. exercice 16 excepté le (f).
• Cours.
  • Dérivabilité
    • Dérivée et opérations algébriques ;
    • Composition ; fonction réciproque.
• Pour demain Exercice 16, question (f).

• Dérivabilité .
  • Dérivée n-ième ;espace vectoriel des fonctions de classe C^n ; formule de Leibniz.
  • (In)égalité des accroissements finis et conséquences.
    • Extrema locaux et annulation de la dérivée ;
    • Théorème de Rolle. Interprétation cinématique ;
    • Théorème des accroissements finis. Interprétation géométrique.
    • Inégalité des accroissements finies.

  Pour demain Exercice 3 ; exercice 9, paragraphe 2 (TD 16).

• Dérivabilité
  • T.A.F. et conséquences.
    • variations d'une fonction et signe de la dérivée ;
    • prolongement C^1 ;
    • étude de suites récurrentes ; approximation.

Pour lundi. Rappel exercice 16, question (f) (Paragraphe 1, TD 16) ; exercice 9 (Paragraphe 2, TD 16) et exercice 3.

Pour lundi. Exercices 11 et 18 (Paragraphe 2, TD 6).

• exercice 16, paragraphe 1 (fin) ; exercices 9 et 11 (paragraphe 2) ; exercice 18 (paragraphe 2).

• Convexité. Définition de fonctions convexe ; concave ; point d'inflexion. Caractérisation d'une fonction convexe (resp. concave) en terme de croissance (resp. décroissance) de pentes.
  

• Convexité
  • Caractérisations d'une fonction convexe (resp. concave)
    • Définition d'une fonction strictement convexe (resp. strictement concave) ;
    • Cas d'une fonction dérivable. f (strictement) convexe ssi f' (strictement) croissante ; (strictement) concave ssi f' (strictement) décroissante ; Caractérisation d'une fonction convexe (resp. concave ) à l'aide de ses tangentes
    • Cas d'une fonction deux fois dérivable. Caractérisation d'un point d'inflexion ;
  • Quelques inégalités de convexité à connaître ;
• TD. exercices 3 a) et c) ; 5 c) (paragraphe 2, TD 16)

Pour demain 5 f) à terminer et exercice 1 (paragraphe 3, TD 16) à faire.