PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Courbes paramétrées du plan".

• Exemple introductif : trajectoire d'un point sur un cercle roulant sans glisser sur un autre cercle de même rayon. Notion de courbe : dualité équation / paramétrisation. Représentation paramétrique de l'exemple introductif.

  Cardioide Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) Créé avec GeoGebra

• Fonctions à valeurs dans R^2 . Limite ; continuité ; dérivabilité ; fonction de classe C^k. Dérivée du déterminant et du produit scalaire de deux fonctions vectorielles.

• Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes
  
  
  
  • Définition d'arc paramétré. Arc paramétré de classe C^k. Image d'un arc paramétré. Exemples.
    
  
  

• Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes
  • Vecteur vitesse. Point régulier/singulier. Courbe régulière. Tangente en un point régulier. L'étude des points singuliers sera faite d'ici quelques mois.
  • Branches infinies. Direction asymptotique. Asymptote.

A faire pour demain Exercices 1 et 3.

• Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes.
  • Branches infinies (suite). Branches paraboliques.
  • Etude d'une courbe paramétrée. Restriction de l'intervalle d'étude et mise en évidence de symétries. Double tableau de variations. Points remarquables et leur tangente (à l'exception des points singuliers). Branches infinies. Tracé. Exemple d'étude : cardioïde.

A faire pour lundi Exercices 7 (premier exemple) et 11.

Le programme de colle la semaine 11.

• Interrogation écrite 10. Corrigé dans la foulée ;
• Corrigé des exercices 7 (première courbe paramétrée) et 11.

Pour s'entraîner Exercice 8.

• Courbes paramétrées en coordonnées polaires
  • Définition. Vecteurs vitesse et accélérations. Expression dans la base polaire.
  • Etude des courbes décrite par une équation polaire r = rho(t).
    • Expression des vecteurs vitesse et accélération dans la base polaire.
    • Propriétés de rho et symétries de la courbe d'équation polaire r = rho(t).
    • Méthodologie pour l'étude d'une courbe d'équation polaire r = rho(t).

Fin des courbes paramétrées en coordonnées polaires.
• Exemple d'étude : la rosace d'équation polaire r = cos(2t).
• Etude des branches infinies : spirales ; cercles attracteurs. Exemple : étude de la courbe d'équation polaire r = 1+1/t.

A faire pour demain Exercices 2 (a) et 3 (a) (Courbes en polaire).

• Etude de branches infinies : exercice 3 (a) (paragraphe 1) ;
• Etude de la lemniscate de Bernouilli en coordonnées cartésiennes.

• Fin de l'étude de la lemniscate de Bernouilli : tracé.
• Etude d'une courbe en polaire : exercice 3 (a) (paragraphe 2)

Le programme de colle de la semaine 12.

• Interrogation écrite 11. Correction à la suite ;
• Début du cours sur les coniques : introduction culturelle avec l'étude des sections coniques.

• Suite du cours sur les coniques. Discriminant ; type d'une conique.
• Etude d'une courbe polaire.