PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Développements limités".

• Motivation: Qu'allons-nous faire ? À quoi ca sert ?
• Comparaison de fonctions.
  • Domination ; propriétés ;
  • Négligeabilité ; propriétés ;
  • Equivalence ; propriétés ;
  • A rajouter : fonctions de référence en un point ; en + l'infini ;
• Notion de développement limité
  • Définition et premières propriétés. Unicité ; troncature. Première exemple : D.L. d'ordre n en 0 de x -> 1/(1-x).

• Notion de développement limité
  • dérivabilité et D.L. d'ordre supérieur ou égal à 1 ;
  • Formule de Taylor-Young ; exemples de D.L. en découlant ;
  • Opérations et D.L. : addition ; multiplication.

• Opérations sur les D.L. (suite)
  • Composition ; quotient.
  • Primitivation ; dérivation.

Distribution du début de la feuille de TD 17 sur les développements limités. Liste des DL à connaître.

• Interrogation écrite 18.
• Applications des D.L.
  • Recherche d'équivalents ;
  • Calcul de limites ;
  • Etude locale d'une fonction en un point : extrema locaux ; point d'inflexion ;
  • Développement asymptotique.

Pour demain Exercice 12. Equivalent de tan en Pi/2.

Suite du cours sur les D.L.

• Détermination pratique des asymptotes et leur position relative locale ;
  
• Etude locale des arcs paramétrés : tangente en un point singulier ; nature du point à l'aide du D.L. vectoriel.
  

Exercices de la feuille complémentaire.

A terminer : l'étude des branches infinies de l'exercice 2 ; l'étude locale au point singulier en t=-1 de l'exercice 1. On poursuivra l'étude de l'arc paramétré de l'exercice 1 demain en fin de séance.

Exercices que l'on traitera en partie demain : Exercices 6 ; 2 et 3 de la feuille de TD 18