PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du chapitre "Fonctions de deux variables réelles".

• Motivation.
• Topologie dans le plan
  • Norme et distance euclidienne. Rappel des propriétés usuelles ;
  • Boules ouvertes et fermés. Ouvert du plan.
  • Suites à valeurs dans R^2. Convergence. Opérations sur les limites.

• Notion de limite. Continuité.
  
  
  
  • Limite d'une fonction de deux variables en un point. Caractérisation séquentielle. Opérations sur les limites.
    
  • Continuité. Définition. Exemples : fonctions coordonnées ; polynomiales.
    
  
  

Suite du cours sur "les fonctions de deux variables".

• Notion de limite. Continuité
  • Continuité et composition
  • Fonctions partielles et continuité. Mise en garde.
  • Cas des fonctions à valeurs dans R^2.
• Calcul différentiel
  • Notion de dérivée directionnelle.
  • Dérivées partielles.

• Calcul différentiel
  • Fonctions de classe C^1.
    • Théorème fondamental du calcul différentiel : formule de Taylor-Young à l'ordre 1. Existence de dérivée suivant toutes les directions. Continuité des fonctions de classe C^1.
    • Notion de gradient. Lignes de niveaux. Interprétation géométrique et physique.

      
      

    
    

  Distribution de la feuille de TD 21 sur les fonctions de deux variables

• Calcul différentiel
  • Fonctions de classe C^1 ;
    • Condition d'existence et équation du plan tangent en un point de la nappe paramétrée ;
    • Extrema locaux et globaux. Condition nécessaire d'existence. Points critiques
  • Extension aux fonctions à valeurs dans R^2.
    • Définition d'une fonction de classe C^1.
    • Composition et dérivées (partielles). Expression des dérivées partielles en coordonnées polaires.

Pour lundi Exercices 2 et 5.

Exercices 2 et 4 ; exercice 1 des exercices complémentaires.

• Calcul différentiel
  • dérivées partielles d'ordre 2. Fonctions de classe C^2. Théorème de Schwarz.
  • Equations aux dérivées partielles : quelques exemples dont l'équation des cordes vibrantes (nous reviendrons sur cela )
• Calcul intégral
  • Intégrale double sur un pavé. Propriétés.

• Calcul intégral
  • Intégrale sur un pavé. Théorème de Fubini.
  • Intégrale sur un domaine quelconque. Propriétés. Cas d'un domaine délimité par deux courbes de fonctions : calcul par tranches.
  • Changement de variables. Changement de variable affine (début).

• Calcul intégral
  • Changement de variable en polaire.
  • Champs de vecteurs et intégrale curviligne. Notion de courbe paramétrée de classe C^1 par morceaux ; de courbe fermée simple. Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs le long d'une courbe paramétrée de classe C^1 par morceaux. Champ de vecteurs dérivant d'un potentiel. Caractérisation en terme de circulation.

• Calcul intégral
  • Champ de vecteurs (suite) et fin. Champ de vecteurs dérivant d'un potentiel sur un ouvert étoilé : lemme de Poincaré. Formule de Green-Riemann.
• Exemples d'équations aux dérivées partielles : retour sur la séance de mardi.

Exercice 1 (TD 21, intégration)

A faire pour lundi . Terminer le calcul de l'exercice 1 ; exercice 2 (TD 21, intégration). exercice 9 (TD 21, calcul différentiel)

Exercice 2 et 7 (TD 21, calcul intégral) ; exercice 9 (TD 21, calcul différentiel)