PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

• Interrogation écrite 8
• Début du chapitre "Géométrie de l'espace".
  • Différents modes de repérage.
    • repères cartésiens et coordonnées cartésiennes ; cas des repères orthonormés ; Notion de base orthonormée directe (et indirecte) ;
    • coordonnées cylindriques ; coordonnées sphériques.
    • Changement de repères cartésiens.
  • Produit scalaire. Définition

• Produit scalaire. Propriétés. Expression dans une base orthonormée directe. Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée directe.

• Produit vectoriel. Définition. Propriétés.Caractérisations de la colinéarité. Expression dans une base orthonormée directe.
  

A faire pour demain Exercice donné en cours sur la base orthonormée.

• Déterminant dans l'espace.
  • Définition et interprétation géométrique comme volume algébrique d'un parallélipipède.
  • Propriétés : trilinéarité ; antisymétrie (ou de manière équivalente alternance) ; caractérisation de la coplanarité.
  • Définition de base directe ; indirecte.
  • Expression dans une base orthonormée directe. Calcul pratique : développement suivant une colonne ; règle de Sarrus.

• Déterminant (suite) : calcul à l'aide d'opérations sur les colonnes ; méthode du pivot de Gauss (décrite succinctement) ;
• Plans
  • Différents points de vue : plan défini à l'aide d'un point et deux vecteurs directeurs (ou de manière équivalente à l'aide de 3 points non alignés) ; plan défini à l'aide d'un point et d'un vecteur normal.
  • Représentation paramétrique ; équation cartésienne.
  • Intersection de plans. Condition nécessaire et suffisante d'intersection : non colinéarité des vecteurs normaux.
• Droites
  • Différents points de vue : droite définie à l'aide d'un point et d'un vecteur directeur ; droite définie comme l'intersection de deux plans.
  • Représentation paramétrique ; équations cartésiennes.

• Droites (suite)
  • Intersection d'un plan et d'une droite. Déterminant du système associé. Formules de Cramer ;
  • Intersection de deux droites. La perpendiculaire commune à deux droites non concourantes sera abordée en TD ;
• Distances
  • D'un point à un plan ;
  • D'un point à une droite.
  Début de l'exercice 19.

Le programme de colle de la semaine 10.

• Interrogation écrite 9 ;
• Sphères. Définition. Intersection d'une sphère et d'un plan. Notion de cercle dans l'espace
• Exercices 19 ; 20 (a) et 21 (a);

Fin du chapitre "Géométrie dans l'espace".

• Sphères : plan tangent en un point d'une sphère. Intersection de sphères : distance entre les centres.
  
• Exercice 24.