PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

Début du cours sur les nombres complexes. Revue des connaissances de terminale.

• Le corps des nombres complexes : structure algébrique. La notion de corps n'a pas été abordée.
  
• Conjugaison, module : propriétés.
  
• Interprétation géométrique des nombres complexes.
  
• Distinction entre forme algébrique et géométrique : repérage en coordonnées cartésiennes ; en coordonnées polaires dans le plan usuel.
  

Distribution de la feuille de TD 4 sur les nombres complexes.

Suite des révisions et compléments
• Notation exponentielle de cos(t)+i sin(t) et propriétés ; Application : formules de duplication en trigonométrie ;
• formules de Moivre et d'Euler : application à la réécriture d'expressions trigonométriques (linéarisation, développement, ...) ;
• Groupe des unités. La notion de groupe a été survolée. Complément sur la notion de groupe ;
• Exponentielle complexe. Propriétés. La surjectivité n'a pas encore été vue (celle de t->(cos t + i sin t ) si)

• Linéarisation et développement d'expressions trigonométriques ;
• Exercices 1 (a), (b) ; 2 (a) et 7 (TD 4, révisions)

• Exercices 5 et 6 (TD 4, paragraphe 1) ; exercice 5 (TD 4, paragraphe 2) ;
• Exercices 6 (fin) et 8 (TD 2, paragraphe 3).

• l'exponentielle complexe : fin.
• Début de la résolution d'équations algébriques : définition d'une application polynomiale ; d'une équation polynomiale ; borne sur le nombre de solutions (admis pour l'instant); théorème de D'Alembert Gauss (admis).
• Détermination des racines carrées d'un nombre complexe : sous forme trigonométrique ; sous forme algébrique.

Le programme de colle de la semaine 4

• Interrogation écrite 4 en deux volets.
• Résolution des équations polynomiales de degré 2. Relation coefficients-racines. On a entrevu un premier exemple de division euclidienne.
• Racines n-ièmes. Groupe des racines n-ièmes de l'unité. Propriétés et détermination. Exemples (très rapide : ce sera repris demain)

• Racines n-ièmes de l'unité (suite). Exemples : racines cubiques ; quatrièmes et cinquièmes de l'unité. Interprétation géométrique : polygone régulier à n côtés. Somme des racines n-ièmes de l'unité.

• Exercice 4 (TD 4, paragraphe 2). Ce qui est traité dans cet exercice doit être impérativement retenu .
  

• Exercice 1 (a) ; (b) ; (c) ; (e) ; (k) (Paragraphe 3)
• Exercice 3 (a) commencé

A faire pour demain Exercice 1 (g) et (j).

• Equations algébriques : exercice 1 (g) et (j) et 3.
• exercice 3 (a)

• racines n-ièmes. exercice 2 (a) ;
• minoration de somme : exercice 1 (paragraphe 4) ;
• inégalité triangulaire et cas d'égalité : démonstration sous forme d'exercice. A terminer pour lundi.

Pour mercredi Exercice 5 (paragraphe 4) ; exercices 2 ; 3 et 5 (paragraphe 5).

Le programme de colle de la semaine 5.

Interrogation écrite 5.

• Correction de l'exercice 1 (TD 4, paragraphe 5) et de l'exercice démontrant l'inégalité triangulaire via l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
• Début du cours sur les équations différentielles.
  • Position du problème ; exemples ; que veut dire résoudre ? problème d'existence et unicité.
  • Calcul de primitives. Caractérisation des fonctions constantes sur un intervalle ; Existence de primitive sur un intervalle et structure de droite affine de l'ensemble des primitives.

• distribution de la feuille de TD 6 sur les équations différentielles ;