PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

• Fin du chapitre sur les suites réelles et complexes.
  • Limite finie d'une suite à valeurs complexes. Une suite converge si et seulement les suites des parties réelles et imaginaires convergent. Limites finies et opérations
  • Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2
• Début du chapitre sur les polynômes. Définition de l'anneau des polynômes à coefficients dans R (ou C). Degré d'un polynôme. Addition ; produit ; degré d'une somme et d'un produit.

• Degré d'un produit et conséquences.
• Division euclidienne. Relation de divisibilité : diviseur ; multiple.
• Fonctions polynomiales. Racines d'un polynôme. Caractérisation. Définition de muliplicité d'une racine.

Feuille de TD 14 sur les polynômes.

Interrogation écrite 16.

• Racines d'un polynôme (suite). borne sur le nombre de racines et conséquences.
• Polynôme dérivé. Dérivée d'une somme ; d'un produit. Dérivée n-ième. Formule de Leibniz.

• Formule de Taylor.
• Multiplicité d'une racine et dérivées successives.
• Factorisation dans R[X] et C[X].
  • Polynôme scindé et relations coefficients-racines. Fonctions symétriques élémentaires (degré 2 et 3).
  • Définition de polynôme irréductible.

• Exercices 1, 6 et 5 ;
• Factorisation dans R[X] et C[X]
  • Théorème de D'Alembert-Gauss (admis). Polynômes irréductibles de C[X] ; décomposition en facteurs irréductibles dans C[X].
  • Polynômes irréductibles de R[X] ; décomposition en facteurs irréductibles dans R[X].

Exercices 8 ; 14 et 18.

Pour demain exercice 19.