PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2009/2010

• Présentation du cours tout au long de l'année
  • Organisation ;
  • Description et objectifs du programme de 1ère période ;
  • Méthodes de travail.
• Le premier cours a été l'occasion de revoir
  • la notion d'ensemble : appartenance, inclusion, égalité ;
  • les réflexes à avoir pour établir l'inclusion, l'égalité ;
  • le bon usage des symboles mathématiques.

Opérations sur les parties d'un ensemble : réunion ; intersection ; passage au complémentaire ; différence et différence symétrique.

Correction des questions a) et c) de l'exercice 1 de la feuille de TD 0.

Exercices de cours à faire pour lundi :

• démonstration de la distributivité de l'opérateur "inter" vis-à-vis de l'opérateur "union" à finir ;
  
• les autres exercices demandés figurent dans le résumé de cours accessible ici.
  

• Fin des notions sur les ensembles et applications.
  • Détermination de la réciproque sur une exemple ;
  • Composée d'applications injectives ; surjectives ; bijectives ;
  • Réciproque de la composée d'applications bijectives.
  Ces notions seront revues en cours d'année.

• Début de la feuille de TD 1 de révision d'analyse

  On a traité l'exercice 1 en partie et commencé l'exercice 2.
  

Feuille de TD 1.

Exercice 11. Cela a été l'occasion de rappeler la méthodologie pour étudier une fonction.
Exercice 10. Cela a été l'occasion de revoir la continuité en un point ; la dérivabilité en un point.

Correction rapide de l'exercice 2. (j).

Rendu des devoirs maisons.

Le programme de colle de la semaine 1.

• Première interrogation de cours
• Suite du cours sur les fonctions usuelles.
  • Exponentielle de base a. Propriétés. Lien entre exponentielle et logarithme de base a.
  • Fonctions puissances. Propriétés. Croissances comparées.
  • Fonctions hyperboliques. Etude de ch et sh.
• Distribution de la feuille de TD sur les fonctions usuelles.
• Exercices à faire Exercice 1 (paragraphe Exponentielle ...) de la nouvelle feuille pour mercredi. Exercice sur les bijections pour vendredi.

Interrogation Ecrite 2. Sur les fonctions hyperboliques réciproques.

• Exercices de compléments : Exercices 2 et 4.(a).
  
• Fonctions usuelles Exercices 6 et 5. (a) du paragraphe 2.
  

• Pour demain : Finir l'exercice 5 du TD 2.
  
• Pour mercredi : Finir l'exercice 4 du TD 3 ; Faire l'exercice 5, paragraphe 1 du TD 2.
  

Début du cours sur les nombres complexes. Revue des connaissances de terminale.

• Le corps des nombres complexes : structure algébrique. La notion de corps n'a pas été abordée.
  
• Conjugaison, module : propriétés.
  
• Interprétation géométrique des nombres complexes.
  
• Distinction entre forme algébrique et géométrique : repérage en coordonnées cartésiennes ; en coordonnées polaires dans le plan usuel.
  

Distribution de la feuille de TD 4 sur les nombres complexes.

Interrogation écrite 5.

• Correction de l'exercice 1 (TD 4, paragraphe 5) et de l'exercice démontrant l'inégalité triangulaire via l'inégalité de Cauchy-Schwarz ;
• Début du cours sur les équations différentielles.
  • Position du problème ; exemples ; que veut dire résoudre ? problème d'existence et unicité.
  • Calcul de primitives. Caractérisation des fonctions constantes sur un intervalle ; Existence de primitive sur un intervalle et structure de droite affine de l'ensemble des primitives.

• distribution de la feuille de TD 6 sur les équations différentielles ;

• Produit scalaire.
  • Définition et propriétés (symétrie, bilinéarité,lien avec la norme) ;
  • Ecriture complexe ;
  • Expression dans une base orthonormée. Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée ;
  • Exemples d'emploi (sous forme d'exercice)
• Déterminant.
  • Définition géométrique : aire algébrique.

• Déterminant dans l'espace.
  • Définition et interprétation géométrique comme volume algébrique d'un parallélipipède.
  • Propriétés : trilinéarité ; antisymétrie (ou de manière équivalente alternance) ; caractérisation de la coplanarité.
  • Définition de base directe ; indirecte.
  • Expression dans une base orthonormée directe. Calcul pratique : développement suivant une colonne ; règle de Sarrus.

• Point de vue monofocal (fin) ;
  • Définition monofocale de l'hyperbole (fin) : expression des différents paramètres en fonction de a et b ;
  • Equation polaire d'une conique définie par foyer et directrice.
• Point de vue bifocal ;
  • Cas de l'ellipse.

Distribution de la feuille de TD 10 sur les coniques ; résumé de cours .

Pour demain Exercice 7.

Exercices 3 (de (a) à (c)) ; 11.

Distribution de la feuille de TD 11 sur les propriétés de N et le dénombrement.

Le programme de colle de la semaine 14.

• Début du chapitre "Corps des nombres réels". Il s'agit de donner dans ce chapitre les propriétés essentielles de R. Tout particulièrement : la propriété de la borne supérieure ; la propriété d'Archimède.
  • Généralités sur les relations d'ordre. Définition. Exemples. Minimum ; maximum. Minorant ; majorant. Sous-ensemble minoré ; majoré ; borné. Notion de borne supérieure et borne inférieure.
  • Propriété de la borne supérieure de R.
• Combinatoire : exercice 4 (TD 11).

Interrogation Ecrite 14.

• Notion de limite. Suites tendant vers l'infini.Opérations sur les limites.

Distribution de la feuille de TD 13 sur les suites réelles et complexes

• Degré d'un produit et conséquences.
• Division euclidienne. Relation de divisibilité : diviseur ; multiple.
• Fonctions polynomiales. Racines d'un polynôme. Caractérisation. Définition de muliplicité d'une racine.

Feuille de TD 14 sur les polynômes.

• Sous-espaces vectoriels.
  • Caractérisation d'un s.e.v. engendré par une famille finie de vecteurs : suite et fin de la démonstration ; exemple d'emploi.
  • Somme F+G de deux s.e.v. F et G. Caractérisation comme le s.e.v. engendré par FUG. Exemple dans R^3.

• Terminer l'exemple de "calcul" de somme de s.e.v. traité en cours (pourquoi la somme est égale à R^3 ?) ;
• Exercices 1 et 2 donnés en cours à faire.

• limite ; continuité en un point
  • Cas d'une fonction monotone. Théorème de la limite monotone.
  • Continuité en un point. Propriétés résultant de l'existence d'une limite finie.
• Continuité sur un intervalle
  • Théorème des valeurs intermédiaires et conséquences ;
  • Cas d'un fonction continue sur un segment. Théorème des bornes atteintes.

Pour lundi Finir l'exercice 1 ; faire l'exercice 7.

• Opérations sur les D.L. (suite)
  • Composition ; quotient.
  • Primitivation ; dérivation.

Distribution du début de la feuille de TD 17 sur les développements limités. Liste des DL à connaître.

• Correction des exercices sur les familles libres ; la linéarité de la i-ème forme coordonnée dans une base.
• Notion de dimension
  • Définition d'un espace vectoriel de dimension finie. Exemples.
  • Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie.
    • Théorème de la base incomplète et existence de base.
    • La dimension d'un espace vectoriel est le cardinal d'une base (qui ne dépend donc pas de la base choisie). Exemples classiques : K^n ; K_n[X].
    • Cardinal d'une famille libre ; d'une famille génératrice. Caractérisation d'une base comme une famille libre maximale ; une famille génératrice minimale.

Distribution de la feuille de TD 18 sur les espaces vectoriels de dimension finie ;

Exercices complémentaires sur les D.L. et les espaces vectoriels de dimension finie.

• Systèmes linéaires Cas inhomogène. Résumé de ce qu'il faut savoir
• Fin de l'exercice 11. Exercices 18 et 13.

Exercices complémentaires d'algèbre linéaire.

Suite du chapitre "Calcul intégral".

• Propriétés de l'intégrale
  
  
  
  • Positivité ; linéarité ; relation de Chasles ;
    
  • Fonction continue positive et intégrale : la nullité de l'intégrale entraîne que la fonction est identiquement nulle sur le segment ;
    
  • Quelques inégalités importantes : comparaison ; valeur absolue et intégrale ; inégalité de la moyenne ;
    
  • Théorème fondamental de l'intégration ;
    

exercice 2 a) (TD 19, paragraphe 2).
Distribution de la feuille de TD 20 sur le calcul intégral.
Vous pouvez d'ores et déjà regarder les exercices 1 et 2.

• Calcul différentiel
  • Fonctions de classe C^1.
    • Théorème fondamental du calcul différentiel : formule de Taylor-Young à l'ordre 1. Existence de dérivée suivant toutes les directions. Continuité des fonctions de classe C^1.
    • Notion de gradient. Lignes de niveaux. Interprétation géométrique et physique.

      
      

    
    

  Distribution de la feuille de TD 21 sur les fonctions de deux variables

• Définition de produit scalaire et Exemples classiques
  • Démonstration de l'inégalité Cauchy-Schwarz. Cas d'égalité : suite et fin.
  • Propriétés de la norme associée à un produit scalaire.
  • Définition d'espace vectoriel euclidien.
• Orthogonalité
  • Relation d'orthogonalité. Définition.
  • Famille orthogonale/orthonormée.
    • Définition. Théorème de Pythagore.
    • Base orthogonale/orthonormée. Expression d'un vecteur dans une base orthonormée.
  • Procédé de Gram-Schmidt. Principe dans R^3.

Distribution de la feuille de TD 22 sur les espaces vectoriels euclidiens.

Pour demain Faire les exercices demandés sur les familles orthonormées.