PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

• 4- Dérivées partielles d'ordre supérieure ; exemples d'équations aux dérivées partielles
  • Dérivées partielles d'ordre 2 ; fonctions de classe C^2 ; théorème de Schwarz ;
  • Exemples d'équations aux dérivées partielles A lire pour ceux qui n'étaient pas là.

TD. exercices 2 et 4.

Distribution d'un résumé de cours sur les champs de vecteurs

• II- Continuité
  • II-3 Caractérisation séquentielle de la continuité. Continuité et composition. Continuité des fonctions partielles.
  • II-4 Continuité des fonctions à valeurs vectorielles.
• III- Notion de dérivée directionnelle et de dérivée partielle
  • III-1 Dérivée suivant un vecteur
  • III-2 Dérivées partielles

>	factorielle_montante:=proc(n)

>	local fact,i;

>	fact:=1;# initialisation de la variable fact

>	for i from n to 2*n do

>	fact:=fact*i;

>

end do;

>

fact;

>

end proc;

>	factorielle_montante(20);

La procédure à écrire est récursive

>	maximum:=proc(L)

>	local n,M;

>	n:=nops(L):# nombre d'éléments de la liste L

>	if nops(L)=1 then M:=L[1]:

>	else M:=maximum(L[1..n-1]):

>	if M<=L[n] then M:=L[n]:# on compare le maximum des n-1 premiers elts au dernier elt de la liste

>

end if:

>

end if:

>

M:

>

end proc:

>	L:=[seq(rand(1000)(),k=1..10)];

>	maximum(L);

>	max(op(L));

>

>	factorielle_manquante:=proc(n)

>	local fact,i;

>	fact:=1; # initialisation de la variable fact

>	for i from 1 to n by 2 do # le by 2 indique que les pas se font de deux en deux

>	fact:=fact*i;

>

end do;

>

fact;

>

end proc;

>	factorielle_manquante(20);

La procédure à écrire est récursive

>	minimum:=proc(L)

>	local n,m;

>	n:=nops(L):# nombre d'éléments de la liste L

>	if nops(L)=1 then m:=L[1]:

>	else m:=minimum(L[1..n-1]):

>	if m>=L[n] then m:=L[n]:# on compare le minimum des n-1 premiers elts au dernier elt de la liste

>

end if:

>

end if:

>

m:

>

end proc:

>	L:=[seq(rand(1000)(),k=1..10)];

>	minimum(L);

>	min(op(L));

Début du chapitre 21 "fonctions de deux variables"

Partie A- Calcul différentiel

• I- Qu'est-ce qu'une fonction de deux variables ?
  • fonction scalaire ; fonction vectorielle ; Opérations usuelles ;
  • représentation graphique : nappe paramétrée ; ligne de niveaux ; champ de vecteur ;
  • fonctions partielles associées à une fonction scalaire
• II- Continuité

• II-1 Un peu de topologie : boules ouvertes ; fermées ; parties ouvertes
• II-2 Convergence de suite de points ;
• II-3 Définition de la continuité d'une fonction scalaire ; continuité et opérations