PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre 17 "Matrices"

• I-Définitions et Interprétations
  • I-1 Définitions. Matrice de dimension mxn à coefficients dans K. matrice carrée d'ordre n ; Matrice nulle de dimension mxn ; matrice identité d'ordre n ; matrice triangulaire supérieure ; triangulaire inférieure ; diagonale.

  • I-2 Interprétations
    
    
    
    • a) matrice d'une famille de vecteurs ;
      
    • b) matrice d'une application linéaire.
      
    
    

• II- Opérations matricielles ;
  
  
  
  • II-1 Addition. Propriétés.
    
  • II-2 Multiplication par un scalaire.
    
  
  

• II- Opérations matricielles
  • II-2 Multiplication par un scalaire. L'ensemble des matrices de dimension mxn à coefficients dans K est un K-espace vectoriel de dimension mxn
  • II-3 Produit matriciel. Définition. Propriétés. Anneau des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. Matrice carrée d'ordre n inversible. Inverse. Propriétés.
• III- Représentation matricielle d'une application linéaire
  • III-1 Image par une application linéaire. Formule Y=AX. Vecteur du noyau ; de l'image.
  • III-2 Opérations matricielles et applications linéaires
    • a) Addition.

• III- Représentation matricielle d'une application linéaire
  
  
  
  • III-2 Opérations matricielles et applications linéaires
    
    
    
    • b) multiplication par un scalaire
      
    • c) produit de matrice et composition
      
    
    
  • III-3 Changement de bases
    
    
    
    • a) matrice de passage. Propriétés. Formule de changement de base
      
    
    
  
  

III- Représentation matricielle d'une application linéaire
• III-3 Changement de bases
  • b) matrice d'une application linéaire et formule de changement de base.
IV- Rang d'une matrice
• IV-1 Définition. Lien avec le rang d'une application linéaire.
• IV-2 Calcul pratique du rang. Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes : échelonnement.
• IV-3 Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice.
  • a) à l'aide du rang.

• V- Espace vectoriel des matrices de dimension mxn
  • V-1. Le K-espace vectoriel des matrices de dimension mxn : base des matrices élémentaires ; isomorphisme avec L(E,F) ; Transposée.
  • V-2. L'anneau des matrices carrées : mises en garde.

Exercice 2 a) et b). Digression sur la formule de changement de base

Pour demain Exercice 2 à finir ; exercice 5 a) et 14.

Suite et fin du paragraphe 5 commencé hier.

Exercices 2 c) et 5 de a) à d).

• Fin de l'exercice 5 ;
• VI- Déterminant

  Transparents du cours.

Exercices 3b)-c) et 7 h) inclus.

Pour demain finir l'exercice 7.

Suite du chapitre "Calcul Intégral".

• I-Construction de l'intégrale
  
  
  
  • I-5 Suite et fin de la démonstration sur les sommes de Riemann. Exemple d'emploi.

TD. Problème 1 de l'épreuve commune 2009 mines sup : parties A et B jusqu'à la question 10.

Pour lundi Terminer la partie B et faire la partie C en reconnaissant ce qu'on a fait ce matin.

Parties B et C du pb des petites mines : suite et fin.

Suite du chapitre "Calcul intégral"

II- Propriétés de l'intégrale
• II-1 Linéarité et positivité. Inégalité triangulaire et inégalité de la moyenne.

Distribution du TD 19 sur le calcul intégral

Pour demain. Finir l'exemple commencé en cours. Exercice 1 de la feuille de TD 19.