PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre 16 "Espaces vectoriels de dimension finie"

• I- Familles génératrices ; familles libres/liées ;
  
  
  I-1 Familles génératrices. Définition. Propriétés : une sur-famille d'une famille génératrice est génératrice ; si l'un des vecteurs d'une famille génératrice est C.L. des autres vecteurs, alors la famille privé de ce vecteur est génératrice ; Exemples dans K^n et K_n[X]. Deux exemples sous forme d'exercice.
  I-2 Familles liées/libres.
  
  
  
  • Définition de famille liée. Propriétés : une famille est liée ssi l'un des vecteurs est C.L. des autres ; une surfamille d'une famille liée est liée ; si le vecteur nul appartient à la famille, alors la famille est liée.
    
  • Définition de famille libre. Exemples dans K_n et K_n[X] ; Méthodologie dans le cas de fonctions : cas de la famille (cos,sin).
    
  
  

  Pour demain Traiter l'exercice donné en cours sur la notion de famille liée/libre ; vérifier chacune des propriétés non établies

• I- Familles génératrices ; familles libres/liées
  • I-2 Familles liées/libres (suite) Correction de l'exercice donné en cours. propriétés d'une famille libre.
• II- Notion de base et d'espace vectoriel de dimension finie
  • II-1 Notion de base. Définition ; coordonnées d'un vecteur dans une base. Bases canoniques de K^n et K_n[X]. Une famille est une base ssi elle est libre et génératrice.

  • II-2 Notion de dimension
    
    
    
    • a) Un lemme de dépendance linéaire. Enoncé du lemme de Steinitz.

Notes de cours distribuées les années précédentes.

• II- Notion de base ; de dimension finie ;
  • II-3 Les K-espaces vectoriels ExF et L(E,F) ; b) dimension de L(E,F).
  • II-4 Caractérisation des bases en dimension finie ;
    • Equivalence entre famille libre maximale ; famille génératrice minimale ; base
    • borne supérieure sur le cardinal d'une famille libre ; borne inférieur sur le cardinal d'une famille génératrice dans un espace vectoriel de dimension n ; l'égalité se produit ssi la famille est une base. Exemple d'emploi
    • Application linéaire canoniquement associée à une famille finie de vecteurs. La famille est génératrice ssi l'application est surjective ; libre ssi l'application est injective ; une base ssi l'application est bijective.
• III-sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E de dimension finie ;
  • III-1 Dimension d'un s.e.v. La dimension d'un s.e.v. F est inférieur ou égal à la dimension de E avec égalité ssi F=E. Exemple d'emploi pour établir l'égalité de s.e.v.

Interrogation Ecrite 17

• III- Sous-espaces vectoriels en dimension finie
  
  
  
  • III-2 Théorème de la base incomplète. a) Enoncé b) base extraite d'une famille génératrice c) Existence d'un supplémentaire.
    
  • III-3 Sommes de deux sous-espaces vectoriels. Remarque sur les sommes directes. Formule de Grasmann. Caractérisation de deux s.e.v.

    
    

  
  

Exercices 1 ; 2 (a) ->(d) ; début exercice 11.

• IV- Applications linéaires en dimension finie
  • IV-1 Théorème du rang.
  • IV-2 Caractérisation d'un isomorphisme
  • IV-3 Systèmes linéaires : rang d'un système ; structure de s.e.v. des solutions d'un système homogène ; de sous-espace affine pour un système inhomogène.

Suite et fin de l'exercice 11 ; familles libres de fonctions : exercices 5 et 8 b) ; applications linéaires : exercice 16 (justifier que la proposition b) est vraie)

Pour demain Regarder les exercices 18 et 22.

Retour sur l'exercice 16 b) ; Exercices 18 et 19 b)

Retour sur l'exercice 13 (TD 16)