PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre 19 "Espaces vectoriels euclidiens"

• I- Produit scalaire
  
  
  
  • I-1 Définition de produit scalaire et exemples classiques : produit scalaire standard dans R^n ; produit scalaire dans l'espace des matrices carrées d'ordre n ; produit scalaire dans l'espace vectoriel C([a,b],R). norme associée à un produit scalaire.
    
  • I-2 Quelques (in)égalités : identité de polarisation ; identité du parallélogramme ; inégalité de Cauchy-Schwarz.
    
  • I-3 Propriétés de la norme associée à un produit scalaire

Suite du chapitre 19.

• I- produit scalaire
  • I-4 définition d'un espace vectoriel euclidien. Exemples.

• II- Orthogonalité

  Définition de la relation d'orthogonalité.
  

  
  
  • II-1 Famille orthogonale /orthonormée. Définitions. Bases orthogonales ; orthonormées.
    Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée

  • II-2 Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Principe dans R^2 et R^3. Procédé général.

Pour lundi prochain Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à l'exemple figurant sur le forum.

Distribution de la feuille de TD 20 sur les espaces vectoriels euclidiens.

• II- Orthogonalité
  • II-2 Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Conséquence : existence d'une b.o.n. dans un espace vectoriel euclidien.
  • II-3 Sous-espaces vectoriels orthogonaux. propriétés ;
  • II-4 Projections et symétries orthogonales
    • a) projecteur orthogonal : définition ; caractérisation ; expression dans une b.o.n..

• II- Orthogonalité
  • II-4 Projections et symétries orthogonales
    • b) symétries orthogonales
  • II-5 Distance
    • a) distance euclidienne
    • b) théorème de Pythagore
    • c) distance à un s.e.v.

Exercices 1 et 2 ; exercice 4 a) et b) ; exercice 7 a) de deux façons.

Pour demain finir l'exercice 7.

• II- Orthogonalité
  • II-4 Formes linéaires. Théorème de Riesz en dimension finie.

• III-Automorphismes orthogonaux
  
  
  
  • III-1 Définition et propriétés ;
    
  • III-2 Expression dans une B.O.N.