PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre 13 "Généralités sur les espaces vectoriels"

• I- Notion de K-espace vectoriel
  • I-1 Définition et premières propriétés.
  • I-2 Exemples de K-espaces vectoriels à connaître : a) le K-espace vectoriel K^n avec n >=1 ; b) le K-espace vectoriel K[X] ; c) le K-espace vectoriel des applications d'un ensemble non vide X à valeurs dans K

Exercice 17 (TD 14)

Distribution d'un polycopié de cours sur le chapitre 13 ; de la feuille de TD 15 sur les espaces vectoriels.

Suite du chapitre 13.

• II-Sous-espaces vectoriels
  • II-1 Définition et premières propriétés : définition ; sous-espaces vectoriels triviaux ; droite vectorielle ; un s.e.v. d'un K-espace vectoriel a une structure de K-espace vectoriel.
  • II-2 Différentes caractérisations.
  • II-3 Exemples dans K^n : deux exemples dans R^4.
  • II-4 Exemples dans K[X] : le s.e.v. des polynômes de degré <= n ; le s.e.v. des polynômes multiples de x^{n+1}

Pour demain exercice 1 de la feuille de TD 15.

• II- Sous-espaces vectoriels
  • II-5 Exemples dans F(X,K). a) X=intervalle de R et K=R
  • II-6 Intersection de s.e.v ; s.e.v. engendré par un sous-ensemble

Interrogation écrite 12 : bis repetita.

• II- Sous-espaces vectoriels
  • II-7 Sommes de sous-espaces vectoriels. Définition ; motivation géométrique ; autre description de la somme ; cas particulier de la somme de s.e.v. engendré par une famille finie.

Pour lundi Prendre connaissance des exercices 2,3 et 4. A faire : Exercice 9, sauf la question subsidiaire.

Pour l'exercice 4, voir le forum pour corriger l'énoncé.

• III- Applications linéaires
  • III-3 (suite) caractérisation de l'injectivité
  • III-4 Applications linéaires et opérations. K-espace vectoriel des applications linéaires d'un K-espace vectoriel E vers un K-espace vectoriel F ; composition ; anneau des endomorphismes d'un K-espace vectoriel E.
  • III-5 Isomorphismes. Définition d'isomorphisme et d'automorphisme. Linéarité de la réciproque d'un isomophisme. Groupe Linéaire d'un K-espace vectoriel E.

Exercice 15 en long en large et en travers ; début exercice 16.

pour demain Finir l'exercice 16.

Fin du chapitre "Généralités sur les espaces vectoriels"

• III- Applications linéaires
  • III-6 Projecteurs et symétries

Exercices 3 ; 13 ; 17 a) ; 19 a) début.

Pour demain Exercices 17 b) ; 19 à finir.

Prendre connaissance des exercices 4 ; 14 ; 23 ; 26 et 11. Nous les traiterons en TD demain, ainsi que les exercices 6 et 7.

Exercices 19 ; 23 ; 26 (a)

Distribution des fiches 1 ; 2 et 3 du chapitre "Continuité et dérivabilité."

Pour demain Lire la fiche 1. Terminer l'exercice 26. Traiter l'exercice 18.