PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre 6 "Coniques".

• 0- Culturel : section conique.
  
• 1- Coniques en tant que courbes algébriques de degré 2.
  
  
  
  • Définition d'une conique.
    
  • 1-1 Discriminant et type d'une conique. Conique de type hyperbolique ; de type parabolique ; de type elliptique.
    
  • 1-2 Changement de R.O.N. direct. Equation cartésienne ; invariance du discriminant.
    
  • 1-3 Réduction d'une conique. Principe.
    
  
  

• I- Coniques en tant que courbes algébriques de degré 2
  • I-3 Réduction d'une conique
    • a) Cas d'une conique de type elliptique. Théorème de classification. Equation réduite d'une conique propre de type elliptique. Définition d'une ellipse. Terminologie autour de l'ellipse : centre ; axes principaux ; axe focal ; sommets ; demi-grand axe et demi petit axe.
    • b) Cas d'une conique de type parabolique. Théorème de classification. Equation réduite d'une conique propre de type parabolique. Définition d'une parabole. Terminologie autour de la parabole : sommet ; axes principaux ; axe focal ; paramètre.
    • c) Cas d'une conique de type hyperbolique. Début.

Distribution de la feuille de TD 8 sur les coniques et du résumé de cours sur les coniques.

• I- Coniques en tant que courbes algébriques de degré 2
  • I-3 Réduction d'une conique. c) fin de la réduction d'une hyperbole
  • I-4 Paramétrisation d'une conique propre
    • a) Cas d'une ellipse. Cercle principal.
    • b) Cas d'une parabole
    • c) Cas d'une hyperbole.
    • d) Tangente à une conique propre.
  • I-5 Conique à centre. Détermination des coordonnées du centre via la résolution du système linéaire des dérivées partielles.

• II- Définition monofocale d'une conique
  • Equation cartésienne dans le repère focal.
  • II-1 Equation polaire d'une conique.
  • II-2 Equation réduite d'une ellipse (donnée à l'aide d'une définition monofocale). les différents paramètres d'une ellipse : a ; b ; c ; p et leur expression à l'aide de d et e. Lien avec la définition d'ellipse donnée au paragraphe I. Description de l'ellipse à l'aide de la directrice et du foyer symétriques.
  • II-3 Equation réduite d'une parabole (donnée à l'aide d'une définition monofocale). Lien avec la définition de parabole donnée au paragraphe I
  • II-4 Equation réduite d'une hyperbole (donnée à l'aide d'une définition monofocale). Paramètres d'une hyperbole : a ; b ; c ;p et leur expression à l'aide de d et e. Lien avec la définition d'hyperbole donnée au paragraphe I (demain). Description de l'hyperbole à l'aide de la directrice et du foyer symétriques (demain).

Pour demain

• Vérifiez les relations a^2 = b^2 + c^2 (ellipse) et c^2 = a^2 + b^2 (hyperbole) ; vérifiez que d < c dans le cas d'une hyperbole ;
  
• étudiez la courbe d'équation polaire r = p/(1+e cos theta) en fonction de e ! Domaine de définition de rho ; restriction du domaine d'étude et symétrie ; tableau de variations. Montrer que les courbes d'équation polaire r = -p/(1+e cos theta) et r = p/(1-e cos theta) sont confondues. Pour l'étude, on pourra regarder plus spécifiquement le cas où p=1 et e=2.
  
• Lire le paragraphe du résumé de cours sur la définition bifocale
  

Fin du cours sur les coniques.

• II- Définition monofocale d'une conique
  • II-4 Equation réduite d'une hyperbole : fin.
• III- Définition bifocale
  • III-1 Cas de l'ellipse
  • III-2 Cas de l'hyperbole

Exercice 1 a). Faire le tracé final.

Pour lundi Exercice 1 b) c) ; Exercice 5 a) ; Exercice 7 a) et l'exercice 8.

Interrogation écrite 7.

Correction dans la foulée.

Exercice 1 b) et c) ; Exercice 5 a).

Exercice 2. Etude des coniques pour t=0 ; t= 1 et t=2.

Exercice 4.

Exercice 7 a).

Etude de la courbe paramétrée d'équation polaire r=sin(t)/cos^2(t).