PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre 14 "Continuité-Dérivabilité".

Prérequis : fiche 1 distribuée hier

• I- Notion de limite ; continuité en un point.
  
  
  
  • I-1 Notion de limite finie. Définitions quantifiées dans différents cas. Propriétés : unicité ; bornitude dans un voisinage. Continuité en un point.
    
  • I-2 Notion de limite infinie.
    
  
  

• I- Notion de limite
  • 1-2 Notion de limite infinie. b) limite en +oo ; c) limite en -oo
  • 1-3 Limites à gauche et à droite.
  • 1-4 Caractérisation séquentielle de la limite. Exemple d'emploi.
  • 1-5 Opérations et limites. a) somme ; b) produit ; c) quotient.

• I- Notion de limite
  • I-5 Opérations et limites. d) composition.
  • I-6 Limites et inégalités. Théorème des gendarmes ; passage à la limite dans les inégalités larges ; "réciproque"
  • I-7 Cas d'une fonction monotone. Théorème de la limite monotone ; continuité en un point ssi les limites à gauche et à droite coïncident.

• I- Notion de limite. Continuité en un point
  • I-8 Relations de comparaison. a) domination ; b) négligeabilité ; c) équivalence ; d) croissance comparée en +oo
• II- Continuité sur un intervalle
  • Structure de R-espace vectoriel et d'anneau de l'ensemble des fonctions définies et continues sur un intervalle I ; continuité et passage à l'inverse ; continuité et composition.
  • II-1 Théorème des valeurs intermédiaires a) Enoncé et démonstration.

• II- Continuité sur un intervalle
  • II-1 Théorème des valeurs intermédiaires. Exercice : montrer qu'une fonction polynomiale de degré impair s'annule sur R. b) Autre forme : image d'un intervalle par une fonction continue.
  • II-2 Théorème des bornes atteintes. Enoncé et conséquences. Exercice 7.
  • II-3 Fonctions (strictement) monotones et continuité. (a) Caractérisation de la continuité d'une fonction monotone.

Pour demain Exercices 3 et 4. Concernant l'exercice 3, revoir les propriétés de Q comme sous-ensemble de R (cf chapitre sur le corps des nombres réels)

• II- Continuité sur un intervalle
  • II-3 Fonctions (strictement) monotones et continuité. b) Théorème de la bijection monotone. Exercice traité en cours : que dire d'une bijection continue sur un intervalle ?
  • II-4 Fonctions Lipschitziennes. Définition ; exemples ; continuité d'une fonction lipschitzienne de rapport k>0. Exercice : montrer que x->x^2 n'est pas lipschitzienne sur R.

Exercices 3 ; 4 ; 5 ((a) et début du (b)).

• III- Dérivabilité
  • III-1 Dérivée en un point.
    • a) Définition ; interprétation géométrique et exemple d'étude ;
    • b) Dérivabilité entraîne continuité. Rappel sur le lien entre dérivabilité et existence d'un D.L. d'ordre 1 ;
    • c) dérivabilité et opérations : somme (ou combinaison linéaire) ; produit ; quotient ;
    • d) composition ;
    • e) réciproque

      
      

    
    

  Fin de l'exercice 5.

  Pour demain Regarder l'exercice 8.

• III- Dérivabilité
  • III-2 Fonctions de classe C^n
    • définition de dérivée n-ième ;
    • fonction de classe C^n ; de classe C^oo ;
    • somme ; produit : formule de Leibniz ; exemple.
  • III-3 Théorème des accroissement finis et conséquences
    • a) condition nécessaire d'extremum local ;
    • b) théorème de Rolle. Démonstration à connaître ;
    • c) Enoncé du théorème des accroissements finis.

• III-Dérivabilité
  • III-3 Théorème des accroissements finis et conséquences
    • c) T.A.F. (suite). démonstration. Interprétation géométrique et cinématique. Inégalité des accroissements finis.
    • d) Etude des variations de f à l'aide du signe de f'

Interrogation écrite 15

• III- Dérivabilité
  • III-3 Théorème des accroissements finis et conséquences ;
    • e) Prolongement de classe C^1

Exercice sur un prolongement de classe C^1. A terminer pour demain.

A relire pour demain la méthodologie pour l'étude de suites récurrentes. Tout particulièrement ce qui concerne l'emploi de l'inégalité des accroissements finis.

• III- Dérivabilité
  • III-3 T.A.F. et conséquences
    • (f) Application à l'étude de suites récurrentes

Exercices 8 §1 ; Exercice 19 §2 (début).

Exercice 19 § 2 (suite et fin) ; exercice 16 § 1

• IV- Notion de convexité
  • IV-1 Définitions
    • D'une fonction convexe. Interprétation géométrique. Exemples.

Pour demain Lire la fiche distribuée portant sur la convexité

• IV- Convexité
  • IV-1 Définitions
    • D'une fonction concave ; interprétation géométrique ; exemples.
  • IV-2 Différentes caractérisations : inégalité des trois pentes ; à l'aide de la dérivée première ; de la dérivée seconde.
  • IV-3 Point d'inflexion ; définition ; caractérisation
  • IV-4 Quelques inégalité de convexité. (sous forme d'exercice) on peut bien sûr les obtenir directement.

Pour mardi Exercices 3 et 6 (Convexité)

Interrogation écrite 15. Correction dans la foulée.

Exercices 10 ; 11 et 12 (paragraphe 1, TD 16) ; exercice 13 a) et b) (paragraphe 2, TD 16)

Pour demain Exercice 13 à finir ; traiter l'exercice 5 (paragraphe 3, TD 16). Comparer avec l'exercice 13.