PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Interrogation écrite 5 sur la géométrie du plan.

Début du chapitre 5 "Courbes paramétrées du plan".

• 0-Motivations
  • Qu'est-ce qu'un courbe ? Point de vue "algébrique" : exemple d'une droite ; d'un cercle ; plus compliqué : une cardioïde. Point de vue cinématique : exemple d'un point mobile suivant un mouvement rectiligne uniforme ; un mouvement circulaire uniforme. D'autres exemples : cardioïde vu comme une courbe paramétrée ; paramétrisation rationnelle du cercle.

  • Où interviennent les courbes paramétrées ? Exemples de problème de cinématique : trajectoire de la valve d'une roue qui roule à vitesse constante sans glisser sur une route rectiligne ; la cardioïde réapparaît : trajectoire d'un point sur un cercle roulant sans glisser sur un cercle de même rayon !

• I- Fonctions à valeurs dans R^2
  
  
  
  • I-1) Notion de limite
    
  • I-2) Continuité
    
  • I-3) Dérivée d'ordre k. Fonctions de classe C^k
    
  
  

• I- Fonctions à valeurs vectorielles
  • I-4 Produit scalaire ; déterminant.

• II- Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes
  
  
  
  • II-1 Arc paramétré. Définition. Image. Arc paramétré de classe C^k ;
    
  • II-2 Vecteur vitesse ; vecteur accélération.
    
  • II-3 Point singulier ; régulier.
    
  
  

• II- Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes
  • II-3 suite : tangente en un point régulier.
  • II-4 Branches infinies. Définition. Notion de direction asymptotique. Asymptote. Branche parabolique.
  • II-5 Etude d'un arc paramétré. Exemple de la cardioïde (début).

Finir l'étude de la cardioïde pour vendredi.

• II- Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes
  • II-5 Etude d'un arc paramétré. Cardioïde : suite de l'étude ; Etude de la lemniscate de Bernouilli

  Exercice Etudier la courbe de Lissajous d'équations paramétriques x(t) = cos(3t) ; y(t) = sin(2t).

  L'étude à finir pour lundi.

  Distribution de la feuille de TD 7 sur les courbes paramétrées

  Pour lundi Exercices 1 ; 3 a) ; 6 a) et c)

Interrogation écrite 6 sur les courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes.

Corrigé dans la foulée.

Fin de l'étude de la courbe de Lissajous.

Exercice 7 (courbes coordonnées cartésiennes), b) à traiter.

III- Courbes paramétrées en coordonnées polaires
• III-1 Rappel sur les coordonnées polaires
• III-2 Définition générale. Vecteurs vitesse et accélération. Particularisation aux courbes décrites à l'aide d'une équation polaire.
• III-3 Tangente en une courbe d'équation r = rho(t).
• III-4 Branche infinie. Direction asymptotique.

• III- Courbes paramétrées en coordonnées polaires
  
  
  
  • III-4 Branche infinie (suite). Existence d'asymptote ; de branche parabolique.
    
  • III-5 étude d'une courbe paramétrée d'équation polaire r= rho(t). Périodicité de rho et invariance par rotation ; parité de rho et symétrie. Exemples d'étude : la rosace d'équation polaire
    r= cos(2t) (tracé à faire pour demain)

• III- Courbes paramétrées en coordonnées polaires
  • Etude d'une courbe en coordonnées polaires. Fin de l'étude de la rosace d'équation polaire r=cos(2t). Etude de la courbe d'équation polaire r= 1 + 1/t.

TD Exercices 2 a) et 3 a). Terminer l'étude de l'exercice 3 a) pour demain

Exercice 3 a). Fin et Tracé.
Exercices 1 et 7b) (paragraphe 1).

Distribution d'un problème d'entraînement sur la géométrie du plan ; les courbes paramétrées et les e.d.l. d'ordre 2 à coefficients constants. Les éléments de correction figurent ici

Exercice 2. Etude des coniques pour t=0 ; t= 1 et t=2.

Exercice 4.

Exercice 7 a).

Etude de la courbe paramétrée d'équation polaire r=sin(t)/cos^2(t).