PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre "Equations différentielles".

• 0- Motivations
  • Exemples de modélisation aboutissant à des équations différentielles : désintégration de particules radioactives ; oscillateur harmonique (amorti) ; circuit R.C. ; circuit R.L.C. ; réactions chimiques d'ordre 1 et 2.
  • Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire (é.d.l.)? définition ; ordre d'une é.d.l. coefficients ; second membre ; é.d.l. à coefficients constants.
  • Qu'est-ce que résoudre ? explicitement ; de manière approchée

• I- Rappels et compléments sur le calcul de primitives
  
  
  
  • I-1 Définition de primitive ;
    
  • I-2 Théorèmes d'existence et d'unicité : que dire des primitives d'une fonction continue ?
    
  • I-3 Premières règles de calcul ;
    
  
  

Interrogation écrite 3.

• I- Rappels et compléments sur les primitives
  • I-4 Intégration par parties ;
  • I-5 Changement de variable ;
  • I-6 Brève extension aux fonctions à valeurs complexes.

Feuille de TD 5 sur les équations différentielles.

Nombres complexes : Exercice 12 (retour dessus) ; exercice 23 (a) ; exercice 24.

Equations différentielles : exercice 1 a) et b) (TD 5)

< b> Pour demain exercice 1 c) j) et f) (TD 5).

Suite du cours sur les équations différentielles

• II- Equations différentielles linéaires du premier ordre
  • II-1 Caractérisations de la fonction exponentielle : comme solution de y'=y ; comme vérifiant y(s+t) = y(s)y(t).
  • II-2 Cas d'une équation sans second membre : séparation des variables ; description de l'ensemble des solutions
  • II-3 Cas d'une équation avec second membre : variation de la constante ;

Suite du chapitre 3.

• II- E.D.L. du premier ordre ;
  • II-4 avec second membre : description de l'ensemble des solutions
  • II-5 Résumé de la méthodologie
  • II-6 Problème de Cauchy

Pour demain Exercice 3 (a) et (b).

Equations différentielles : exercice 3 (a) ; (b) ; (c) et (e)

Sommes et nombres complexes : exercice 2 (b) (TD 4 sur les sommes) ; exercice 15 (l) (TD 3)

Suite du chapitre 3.

• III- Equations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
  • III-1 Cas d'une é.d.l. sans second membre. Equation caractéristique et solutions fondamentales ; exemples ; description de l'ensemble des solutions ; preuves lorsque le discriminant est positif ou nul. Preuves lorsque le discriminant est négatif.

Suite du chapitre 3.

• III- Equations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
  • III-2 Cas d'une e.d.l. avec second membre. Cas d'un second membre de type polynôme-exponentielle : détermination d'une solution particulière. Principe de superposition. Description de l'ensemble des solutions

TD. Exercice 12 a). A finir.

Pour demain exercice 4 b).

exercice 12 a) ; f) ; b).

Exercices 4 b) ; 9 ; 18 et 13 (cas d'application de l'exercice 18)