PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Début du chapitre 11 "Polynômes".

K désigne le corps des réels ou des complexes

• I- Anneau K[X]
  • I-1 Définitions. Définition d'un polynôme d'indéterminée X à coefficients dans K. Coefficients ; degré ; coefficients dominant et constant ; polynôme unitaire.
  • I-2 Structure d'anneau de K[X]. a) définition de la loi "+" ; structure de groupe abélien b) définition de la loi "x" ; digression sur les sommes doubles ; structure d'anneau ; c) opérations et degré.

Feuille de TD 13 sur les polynômes

• I- Anneau K[X]
  • I-2 Conséquences du degré d'un produit : "diviseurs de zéro" ; simplifications ; les polynômes inversibles sont les polynômes constants non nuls.
• II- Division euclidienne et relation de divisibilité
  • II-1 Relation de divisibilité
  • II-2 Division euclidienne. Lien avec la divisibilité.
• III- Fonctions polynomiales
  • III-1 Définition. Identification entre polynôme et fonction polynomiale associée.
  • III-2 Racines d'un polynôme (et borne sur le nombre de racines). Définition. Caractérisation d'une racine via la relation de divisibilité. Multiplicité d'une racine.

Pour lundi Exercices 1 et 2.

• III- Fonctions polynomiales
  • III-2 Racines (suite). Borne sur le nombre de racines d'un polynôme non constant.
• IV- Polynôme dérivé
  • IV-1 Définition et premières propriétés.
  • IV-2 Opérations
  • IV-3 Formule de Leibniz.
• V- Formule de Taylor et conséquences
  • V-1 Enoncé
  • V-2 Multiplicité d'une racine.

• VI- Factorisation dans R[X] et C[X]
  • VI-1 (Ir)réductibles de K[X]. Définitions. Redites. Exemples ;
  • VI-2 Théorème de D'Alembert-Gauss et conséquences ;
    • a) Enoncé. Irréductibles dans C[X] ;
    • b) Décomposition en irréductibles dans C[X] ;
    • c) Décomposition en irréductibles dans R[X] ;

Pour demain Décomposition en irréductibles dans R[X] et C[X] de X^6-1 ; exercice 8.

Quelques démonstrations ont été laissées de côté. Les voici au format électronique

Exercices 1 ; 2 et 5.

Fin du chapitre "Polynômes".

• VI- Factorisation dans R[X] et C[X]
  • VI-2 Théorème de D'Alembert-Gauss et conséquences
    • Exemples de factorisation dans R[X].
• VII- Relations coefficients racines
  • Généralités : fonctions symétriques élémentaires
  • VII-1 Cas d'un polynôme de degré 2 ;
  • VII-2 Cas d'un polynôme de degré 3.

Exercices 8 ; 17 a) 14 (avant-dernier exemple)

Pour demain Finir l'exercice 17.