PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

Interrogation écrite 9.

Début du chapitre 10 "suites réelles et complexes".

• I- Généralités sur les suites à valeurs réelles
  
  
  
  • I-1 Anneau des suites à valeurs réelles. Suite vue comme une application ; suite définie par récurrence. Opérations sur les suites.
    
  • I-2 Monotonie
    
  • I-3 Suite majorée ; minorée ; bornée.
    
  
  

Pour demain Faire les différents exercices donnés en cours.

Suite du chapitre "suites réelles et complexes".

• I- Généralités
  • I-4 suite périodique
  • I-5 Propriété à partir d'un certain rang.
• II- Notion de limite
  • II-1 Limite finie. Suite convergente. Définition de suite convergeant vers une limite l. Suite convergente. Unicité de la limite d'une suite convergente. Exemple de suite convergente : la suite de terme général 1/n. Exemple de suite divergente : la suite de terme général (-1)^n. Caractère borné d'une suite convergente. Exemple d'emploi : divergence d'une suite non bornée telle que celle de terme général n.

• III- Critères de convergence ou de divergence
  • III-1 Suites monotones. a) Cas d'une suite croissante : toute suite croissante majorée converge vers sa borne sup. ; toute suite croissante non majorée tend vers +oo. b) Cas d'une suite décroissante : toute suite décroissante minorée tend vers sa borne inf. ; toute suite décroissante non minorée tend vers -oo.
  • III-2 Théorèmes d'encadrement.
  • III-3 Suites adjacentes et segments emboîtés. Définition. Théorème de convergence des suites adjacentes.

Distribution de la feuille de TD 12 sur les suites réelles et complexes

Pour demain faire les exercices donnés en cours. Un certain nombre d'entre eux est rassemblé ici

• III- Critères de convergence ou divergence
  • III-3 Suites adjacentes et segments emboîtés. Propriété des segments emboîtés
  • III-4 Dichotomie. Description du procédé. Exemple : calcul approché de sqrt(2) par dichotomie.
  • III-5 Suites extraites d'une suite donnée.
    • a) définition de suite extraite. suite extraite des termes pairs ; suite extraite des termes impairs ;
    • b) Cas d'une suite convergente. Théorème de convergence des suites extraites d'une suite convergente. Exemple d'emploi : divergence de la suite de terme général (-1)^n. Convergence simultanée des suites des termes pairs et impairs vers une même limite et convergence de la suite initiale.

Pour lundi Etudier l'exemple donné en fin de séance. Manipulation des définitions de limite : exercices 1 ; 3 et 5. Utilisation des critères de convergence ou divergence : exercices 12 (a) et (f)

Interrogation écrite 10.

• III- Critères de convergence ou de divergence
  • III-5 suite extraite d'une suite donnée. Exemple : étude d'une suite récurrente.

Exercices 1 ; 2 (indications) ; 3 et début de l'exercice 5.

Exercice 5 ; 11 (a) et (h) ; exercice 19 (adjacence).

Pour demain Finir l'exercice 19.

• 4- Comparaison de suites
  • 4-1 Domination
  • 4-2 Négligeabilité
  • 4-3 Equivalence
  • 4-4 Suites de référence et croissance comparée.

Pour demain Exercices 30 ; 32 a) et 33.

Fin de l'exercice 19 ; exercices 30 ; 32 a) et 33.

Pour demain Exercice donné en fin de séance et exercice 35.

Correction de l'exercice donné hier ; quelques précisions sur les candidats limites d'une suite récurrente ; exercice 35 ; retour sur la suite précédemment étudiée : à la recherche d'un équivalent

Pour lundi Finir l'exercice sur la recherche d'équivalent. Exercices 36 et 37.
Pour les plus courageux : exercice 8 sur la moyenne de Césaro.

Fin du chapitre "Suites réelles et complexes".

• V- Suites à valeurs complexes Lire le cours polycopié donné à cet égard. Tout particulièrement les démonstrations ainsi que les règles opératoires sur les limites.

Fin de l'étude de la suite récurrente entamée : obtention d'un équivalent ; exercice 28 où on se ramène à la convergence d'une suite complexe.

Distribution d'un complément sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 et 2.