PCSI B - mathématiques - le cahier de texte 2010/2011

• Présentation du cours de maths tout au long de l'année :
  • organisation et évaluation ;
  • description et objectifs de la première période ;
  • méthodes de travail ;
  • présentation des 4 modules de mise au point et distribution des documents préparatoires aux séances 2 et 3.
• Début du chapitre 0 sur les "ensembles et applications" ;
  • Notion d'ensemble : appartenance ; inclusion ; égalité. Méthodologie pour établir l'inclusion et l'égalité. Opérations sur les ensembles : union ; intersection.

  Distribution de la feuille de TD 0 sur les "ensembles et applications".

  Pour lundi Lire la partie du document de cours distribué (jusqu'à la page 8). Traiter les exemples y figurant et les exercices proposés.

Début du chapitre 1 sur les fonctions usuelles.

• 0- Préambule
  • 0-1 Méthodologie sur l'étude d'une fonction. Exemple d'étude de fonction.
  • 0-2 Retour sur la notion de réciproque. Symétrie des courbes représentatives ; stricte monotonie ; continuité ; dérivabilité.

Distribution de rappels sur les fonctions usuelles vues au secondaire.

Feuille de TD 1 sur des révisions d'analyse.

Chapitre 1. Suite.

• I- Fonctions logarithmes et exponentielles
  • I-4 Fonctions puissances ;
  • I-5 Croissance comparée

TD. exercice 11 (TD 0).

Pour demain Terminer la surjectivité du deuxième exemple : trouver l'image; Exercices 1 a) - b) - e) et f) ; 2 i) - j) et n) ; et 8 (TD 1).

Distribution de la feuille de TD 2 sur les fonctions usuelles.

Début du chapitre 2 sur les nombres complexes :

• I- Rappels sur le corps des nombres complexes Définition (forme algébrique); opérations ; conjugué et propriétés ; inverse ; module et propriétés ; interprétation géométrique.

• II- Forme trigonométrique
  Ecriture sous forme trigonométrique ; identification ; argument ; argument principal ; notation d'Euler et propriétés ; formule de Moivre et d'Euler.

Distribution de la feuille de TD 3 sur les nombres complexes.

Retour sur l'exercice 11 (TD 2)

Compléments sur les sommes.

TD. Exercice 1 et 3 a) (Feuille de TD 4 sur les sommes)

A faire Question subsidiaire de l'exercice 1 ; l'exercice 3 b).

Interrogation écrite 3.

• I- Rappels et compléments sur les primitives
  • I-4 Intégration par parties ;
  • I-5 Changement de variable ;
  • I-6 Brève extension aux fonctions à valeurs complexes.

Feuille de TD 5 sur les équations différentielles.

• II- Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes
  • II-5 Etude d'un arc paramétré. Cardioïde : suite de l'étude ; Etude de la lemniscate de Bernouilli

  Exercice Etudier la courbe de Lissajous d'équations paramétriques x(t) = cos(3t) ; y(t) = sin(2t).

  L'étude à finir pour lundi.

  Distribution de la feuille de TD 7 sur les courbes paramétrées

  Pour lundi Exercices 1 ; 3 a) ; 6 a) et c)

• I- Coniques en tant que courbes algébriques de degré 2
  • I-3 Réduction d'une conique
    • a) Cas d'une conique de type elliptique. Théorème de classification. Equation réduite d'une conique propre de type elliptique. Définition d'une ellipse. Terminologie autour de l'ellipse : centre ; axes principaux ; axe focal ; sommets ; demi-grand axe et demi petit axe.
    • b) Cas d'une conique de type parabolique. Théorème de classification. Equation réduite d'une conique propre de type parabolique. Définition d'une parabole. Terminologie autour de la parabole : sommet ; axes principaux ; axe focal ; paramètre.
    • c) Cas d'une conique de type hyperbolique. Début.

Distribution de la feuille de TD 8 sur les coniques et du résumé de cours sur les coniques.

Début du chapitre 8 "Propriétés de N et dénombrement".

• I- Propriétés de N
  • vocabulaire sur les propriétés des opérations + et x ; relation d'ordre ;
  • I-1 Principe de récurrence
    • a) Version ensembliste ;
    • b) démonstration par récurrence simple ;
    • c) démonstration par récurrence avec prédécesseurs ;
    • d) démonstration par récurrence forte.
  • I-2 Propriétés de la relation d'ordre. Toute partie non vide a un plus petit élément ; Toute partie non vide majorée a un plus grand élément.

Pour lundi. Faire l'exercice de récurrence donné en cours. Regarder l'exercice 2.

• II- Arithmétique dans N et Z.
  
  
  
  • II-1 Relation de divisibilité ;
    
  • II-2 Division euclidienne ;
    
  • II-3 Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers (début)
    
  
  

Distribution de la feuille de TD 10 sur les propriétés de N et le dénombrement ;
distribution du résumé de cours sur le dénombrement.

Préambule au chapitre "Corps des nombres réels" : vocabulaire sur les relations d'ordre.

Distribution de la feuille de TD 11 sur les nombres réels.

• III- Critères de convergence ou de divergence
  • III-1 Suites monotones. a) Cas d'une suite croissante : toute suite croissante majorée converge vers sa borne sup. ; toute suite croissante non majorée tend vers +oo. b) Cas d'une suite décroissante : toute suite décroissante minorée tend vers sa borne inf. ; toute suite décroissante non minorée tend vers -oo.
  • III-2 Théorèmes d'encadrement.
  • III-3 Suites adjacentes et segments emboîtés. Définition. Théorème de convergence des suites adjacentes.

Distribution de la feuille de TD 12 sur les suites réelles et complexes

Pour demain faire les exercices donnés en cours. Un certain nombre d'entre eux est rassemblé ici

Début du chapitre 11 "Polynômes".

K désigne le corps des réels ou des complexes

• I- Anneau K[X]
  • I-1 Définitions. Définition d'un polynôme d'indéterminée X à coefficients dans K. Coefficients ; degré ; coefficients dominant et constant ; polynôme unitaire.
  • I-2 Structure d'anneau de K[X]. a) définition de la loi "+" ; structure de groupe abélien b) définition de la loi "x" ; digression sur les sommes doubles ; structure d'anneau ; c) opérations et degré.

Feuille de TD 13 sur les polynômes

Début du chapitre 13 "Généralités sur les espaces vectoriels"

• I- Notion de K-espace vectoriel
  • I-1 Définition et premières propriétés.
  • I-2 Exemples de K-espaces vectoriels à connaître : a) le K-espace vectoriel K^n avec n >=1 ; b) le K-espace vectoriel K[X] ; c) le K-espace vectoriel des applications d'un ensemble non vide X à valeurs dans K

Exercice 17 (TD 14)

Distribution d'un polycopié de cours sur le chapitre 13 ; de la feuille de TD 15 sur les espaces vectoriels.

Parties B et C du pb des petites mines : suite et fin.

Suite du chapitre "Calcul intégral"

II- Propriétés de l'intégrale
• II-1 Linéarité et positivité. Inégalité triangulaire et inégalité de la moyenne.

Distribution du TD 19 sur le calcul intégral

Pour demain. Finir l'exemple commencé en cours. Exercice 1 de la feuille de TD 19.

Suite du chapitre 19.

• I- produit scalaire
  • I-4 définition d'un espace vectoriel euclidien. Exemples.

• II- Orthogonalité

  Définition de la relation d'orthogonalité.
  

  
  
  • II-1 Famille orthogonale /orthonormée. Définitions. Bases orthogonales ; orthonormées.
    Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée

  • II-2 Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Principe dans R^2 et R^3. Procédé général.

Pour lundi prochain Appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à l'exemple figurant sur le forum.

Distribution de la feuille de TD 20 sur les espaces vectoriels euclidiens.