PSI - mathématiques - Le cahier de texte 2007/2008

I. Sommes directes

- Sous-espaces supplémentaires
- Cas de la dimension finie

Utilisations d'une décomposition en somme directe

II
- Théorème noyau-image: Les polynômes d'interpolation de Lagrange.
- Théorème du rang et ses corollaires.

III. Trace d'un endomorphisme.
IV. Dualité
IV.1. Espace dual.
IV.2. Hyperplan

Formes linéaires - Dualité

• Définitions de formes linéaires, hyperplans, espace dual


• Cas de la dimension finie
  
  • Hyperplan- Forme linéaire
  
  
  • Bases duales

Bases antéduales

• Définition


• Exemples

1. ex4
   


2. Déterminant
   • 
     
     Le groupe symétrique
     
     • Définition et structure de groupes
     
     
     • Cycles et transpositions
     • Décomposition en transpositions

- Exemples d'applications sur le déterminant de n vecteurs.
- III. Déterminant d'un endomorphisme.
- IV Déterminant d'une matrice carrée.
IV.1 Définition et Propriété

V.3 Calcul de l'inverse d'une matrice
V.4 Résolution des systèmes linéaires de Cramer
V.I Quelques déterminants classiques.
V.I.1 Matrices triangulaires par blocs.
V.I.2 Déterminant de Vandermonde.

- Sous espaces stables
- Polynômes d'endomorphismes
- Structure d'Algèbre
- Définition des polynômes d'endomorphismes

- Idéaux dans l'espace des polynômes.
- Polynômes annulateurs.

- Applications des polynômes annulateurs.

- Eléments propres:
Définitions et exemples.

- Exemples de recherche d'éléments propres.
- Propriétés relatives aux éléments propres.

- Propriétés relatives aux éléments propres (fin).
- Polynôme caractéristique:
- Définition.
- Premières propriétés
- Ordre de multiplicité.
- Théorème de Cayley Hamilton.

- Applications du théorème de Cayley Hamilton

- Réduction en dimension finie d'un endomorphisme ou matrice
- Diagonalisation : définition, exemples

- Des exemples de diagonalisation.

- Propriétés et caractérisations d'un endomorphisme diagonalisable.
- Projecteurs spectraux.

Caractérisation des endomorphismes ou matrices diagonalisables par un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Exemples.

- Caractérisation des sous espaces stables des endomorphismes diagonalisables.

- Trigonalisation:
- Définition.
- Deux exemples.

Applications de la réduction:
- Puissances d'une matrice.
- Calcul de l'inverse.
- Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2.

Application de la réduction (fin)
- Etude des systèmes différentiels à coefficients constants.

I. Normes
I.1 Définition- Exemples

- fin des exemples sur les normes, boules, application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

I.2 Suites d'éléments d'un e.v.n
I.2.1 Suites convergentes.
I.2.2 Suites de Cauchy

I.3 Applications lipchitziennes
définition, exemples
Toute suite récurrente construite à patir d'une application contractante est de Cauchy

I.4 Normes équivalentes
Définition, exemples et contre-exemples.

I.5 Parties bornées- Applications bornées

II. Topologie dans un espace vectoriel normé.

II.1 Parties ouvertes - Parties fermées

II.2 Point adhérent - Point intérieur

II.2 Point adhérent et point intérieur (fin)

III. Espaces vectoriels normés de dimension finie.
III.1 Normes en dim finie.

III.2 Suites en dim finie
III.2 Suites convergentes
III.3 Suites de Cauchy
Application au point fixe d'une application contractante.

III.2.3 Relation de comparaison des suites.
III.3 Etude locale d'une application.
III.3.1 Limites
1. Définition
2. Caractérisation séquentielle.

III.2.3 Relation de comparaison des suites.
III.3 Etude locale d'une application
III.3.1 Limites
1. Définition
2. Caractérisation séquentielle
3. Limite et applications coordonnées.
4. Limite et applications partielles
5. Opérations algébriques

III.3.2 Continuité
1. Continuité en un point
2. Continuité sur une partie
3. Image réciproque d'un ouvert et d'un fermé
III.3.3 Compacité

III.3.4 Continuité des applications linéaires et bilinéaires en dimension finie.
1. Continuité.

- Normes subordonnées

- Applications de: Si une série converge, la suite de ses termes converge vers 0.
- Structure d'espace vectoriel de l'ensembe des séries, puis de sous espace vectoriel de l'ensemble des séries convergentes.
- Critère de Cauchy pour les séries.

I.3 Relation entre suite et série
- Séries télescopiques
- Pour étudier une suite (u_n), on peut se ramener à la série de terme général u_n-u_(n-1).

- Fin de I.3 Relation entre suites et séries.

I.4 La convergence absolue.
I.4.1 Définition
I.4.2 Produit de Cauchy

II.Cas particulier des séries à termes positifs.
II.1 Généralités
II.2 Différents critères de comparaison à une série à termes positifs.
II.2.1 Critère de o ou O.

- Applications du critère de comparaison: les séries de Bretrand, la formule de Stirling.
II.2.2 Utilisation de l'équivalent.
II.2.3 Règle de D'Alembert.

III. Séries Alternées.

I. Modes de convergence
I.1 Convergence simple
I.1.1 Convergence simple d'une suite de fonctions
I.1.2 Convergence simple d'une série de fonctions

I.2 Convergence uniforme
I.2.1 Convergence uniforme d'une suite de fonctions
I.2.2 Convergence uniforme d'une série de fonctions
I.3 Convergence normale

II. Permutations de limites
II.1 continuité
théorème et exemples
II.2 Théorème de double limite
théorème et exemples

III. Approximations uniformes sur un segment
III.1 subdivisions
III.2 fonctions continues par morceaux
III.3 fonctions en escalier
III.4 Théorème d'approximation

I.3 Dérivées d'ordre supérieur
I.4 Difféomorphismes

II. Intégration sur un segment
II.1 Cas des fonctions en escalier
II.2 Cas des fonctions continues par morceaux.
II.2.1 Définition.
II.2.2 Propriétés en rapport avec la linéarité.

II.2.3 Inégalité de la moyenne
II.2.4 Relation de Chasles
II.2.5 Sommes de Riemann

II.2.5 Sommes de Riemann: exemples
III. Calcul différentiel et intégral: le lien
III.1 Primitives
III.2 Accroissements finis
III.2.1 Cas des fonctions à valeurs réelles: Rappels de P.C.S.I
III.2.2 Cas des fonctions à valeurs vectorielles
III.2.3 Prolongements de fonctions en fonctions de classe C^k

III.3 Suites et séries de fonctions
III.3.1 Intégration sur un segment: théorèmes et illustration par un exemple
III.3.2 Dérivation: théorèmes et illustration par un exemple (la fonction de Riemann)

III.4 Calcul intégral
III.4.1 Intégration par parties.
III.4.2 Changement de variable.
III.5 Formules de Taylor
III.5.1 Théorème de Taylor avec reste intégral.
III.5.2 Inégalité de Taylor Lagrange.
III.5.3 Développements limités des fonctions à valeurs vectorielles.
III.5.3.1 Relation de comparaison des fonctions à valeurs vectorielles.
III.5.3.2 Développements limités

I. Intégrales impropres
I.1 Généralités
Définition, premières propriétés et de nombreux exemples.

I.2 Intégrales impropres des fonctions positives
I.2.1 Caractérisation puis corollaires: les différents critères usuels de convergence d'une intégrale impropre: exemples dont les intégrales de Bertrand et la fonction Gamma.

I.2.2 Fonction positive, continue et d'intégrale nulle
I.2.3 Comparaison entre série et intégrale
Théorème et application aux séries de Riemann, un cas de série de Bertrand.

II. Intégrabilité sur un intervalle quelconque
Définition d'intégrabilité et d'intégrale absolument convergente
Notion d'intégrale semi-convergente
Structure vectorielle de l'ensemble des fonctions intégrables
Théorème de changement de variable: théorème et exemple

III Espaces vectoriels normés de fonctions intégrables
III.1 Normes
III.1.1 Norme de la convergence en moyenne
III.1.2 Norme de la convergence en moyenne quadratique

III.2 Théorèmes de convergence
Théorème de convergence dominée et théorème d'intégration terme à terme de séries de fonctions
puis exemples

exemple d'une intégration d'une série terme à terme.
Intégrales dépendant d'un paramètre: théorèmes de continuité et de dérivabilité et exemples.

Chap: Séries entières
I. Définition- Rayon de convergence
I.1 Définition d'une série entière
I.2 Opérations sur les séries entières
I.3 Rayon de convergence

I.4 Calcul du rayon de convergence
I.4.1 Caractérisations et critère de D'Alembert.
I.4.2 Comparaison de rayon

I.4.3 Opérations et rayon de convergence
II. Propriétés de la somme
II.1 Continuité
II.1.1 Complément sur les fonctions à variable complexe : continuité, convergence unifoeme, conbergence normale des séries de fonctions d'une variable complexe .
II.1.2 Convergence normale des séries entières
II.2 Intégration
II.3 Dérivabilité

III. Fonctions développables en séries entières
III.1 Définitions
III.2 Séries de Taylor: def, C.N et C.N.S pour qu'une fonction admette un développent en série entière.
III.3 Développements en séries entières classiques
III.3.1 Les fonctions exponentielles et ses fonctions dérivées

III.3 Développements en séries entières
2. Fonctions x->(1+x)^a. Présentation de la méthode de l'équation différentielle pour obtenir un DSE
3. Fonctions rationnelles
4. Tableau récapitulatif des développements en séries entières.

I Espaces préhilbertiens
I.1 Espaces préhilbertiens réels
I.1.1 Forme bilinéaire symétrique - Forme quadratique: définitions puis exemples
I.1.2 Inégalité de Cauchy Schwarz

I.2 Produit scalaire sur un espavec vectoriel réel
définition et exemples classiques

II. Espaces préhilbertiens complexes
II.1 Forme sesquilinéaire hermitienne
II.2 Produit scalaire
II.3 Exemples classiques

III. Orthogonalité
III.1 Définition.
III.2 Supplémentaires orthogonaux.

III.3 Projecteur orthogonal.
III.4 Procédé d'orthogonalisation de Schmidt.
III.5 Distance d'un vecteur à un s.e.v

Chap: Espaces euclidiens
I. Rappels du chapitre précédent: définition, existence d'une base orthonormée, supplémentaire orthogonal, projecteur orthogonal, distance d'un vecteur à un sous espace vectoriel
II. Matrice d'un produit scalaire
III Isomorphisme canonique d'un espace euclidien sur son dual: théorème et ses applications, notamment le produit vectoriel

IV. Adjoint d'un endomorphisme: Définition ; endomorphisme autoadjoint
V. Groupe orthogonal d'un espace euclidien
V.1 Endomorphismes orthogonaux

V.1 Réduction des endomorphismes autoadjoints
V.1.1 Réduction des formes bilinéaires symétriques

V.1.2. Applications à la réduction des coniques et quadriques
V.1.2.1 Généralités: méthode pour obtenir une équation réduite: exemple.
V.1.2.2 Classification des coniques.
V.1.2.3 Classification des quadriques avec tableau récapitulatif
Des exemples

2.3 Sommes partielles de Fourier et Série de Fourier
2.4 Interprétation géométrique: Inégalité de Bessel et ses corollaires.
3. Problèmes de convergence.
3.1 Des théorèmes d'approximation
3.2 Convergence en moyenne quadratique. Formule de Parseval

1.3 Fonctions de classe C1 par morceaux.
2. Coefficients et sommes de Fourier
2.1 Coefficients de Fourier exponentiels.
2.2 Coefficients trigonométriques.

4. Convergence ponctuelle.
4.1 Convergence normale.
théorème et exemple
4.2 Théorème de Jordan-Dirichlet.
théorème et exemple

Généralisation aux fonctions T périodiques

Chap:Equations différentielles
1.Equations linéaires vectorielles d'ordre 1
1.1 Les différentes écritures et structure de l'ensemble des solutions.
1.1.1 Ecriture vectorielle
1.1.2 Ecriture matricielle
1.1.3 Ecriture sous forme de système différentiel

1.2 Etude théorique.
1.2.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
1.2.2 Le sous espace vectoriel des solutions de l'équation homogène
1.2.3 Méthode de la variation des constantes.
1.2.4 Cas particulier des systèmes homogènes à coefficients constants.
1.3 Equations différentielles d'ordre 1 scalaires: problème du raccordement.

2. Equations différentielles linéaires scalaires d'ordre 2
2.1 Généralités
2.2 Système différentiel d'ordre un associé.
2.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.
2.4 Etude de l'équation homogène
2.5 Equation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.
2.6 Méthode de la variation des constantes
2.7 Des méthodes particulières
2.7.1 Division par une solution de (H)

2.7.2 Recherche d'une solution développable en série entière

Notions sur les équations différentielles non linéaires

Ce chapitre est particulièrement argumenté avec de nombreux exemples et exercices inclus dans le cours

1. Données et notations du chapitre

2. Limites et continuité

3. Calcul différentiel

• 3.1 Fonctions continûment différentiables
  
  • 3.1.1 Différentielle en un point
  
  
  • 3.1.2 Dérivée selon un vecteur

• 3.1.3 Dérivées partielles
• 3.1.4 Applications de classe C1

3.2 Opérations sur l'ensemble des applications de classe C1
• 3.2.1 L'espace vectoriel C1(U,F)

• 3.2.2 Composition
• 3.2.3 Applications du théorème de composition
  • 1. Applications coordonnées
  • 2. Dérivation

• 3.2.4 Matrice jacobienne
• 3.2.5 C1 Difféomorphisme

3.3 L'algèbre des fonctions numériques continûment différentiables
• 3.3.1 Structure d'algèbre.
• 3.3.2 Gradient

• 3.3.3 Accroissements finis
• 3.3.4 Extremum local
• 3.3.5 Dérivées partielles d'ordre supérieur à 2

1. Champs de vecteurs et formes différentielles
définitions d'un champ de vecteurs, d'une forme différentielle.
justification des notations.
notions de forme différentielle exacte, fermée,.
partie étoilée, lien entre exacte et fermée.
2. Intégrales curvilignes
Définitions et exemples.
3. Intégrales doubles
3.1 Sur un pavé
3.2 Sur un compact élémentaire.
3.3 Changement de variables
4. Formule de Green Riemann: propriété et application au calcul d'aire.
5. Intégrales triples (à voir sur polycopié).

I. Courbes paramétrées
I.1 Généralités: définitions d'un arc paramétré, d'un changement de paramètre admissible
I.2 Etude locale d'une courbe paramétrée
notion de point régulier, birégulier
I.3 Etude métrique d'une courbe paramétrée.
abscisse curviligne, longueur d'un arc, paramétrage normal
2. Coube plane
Repère de Frenet

• paramètre angulaire.
• Méthode pratique pour déterminer le repère de Frenet, et dérivée du paramètre angulaire à l'aide d'un paramètrage quelconque ou en polaire.

2.2.2 Courbure.
• définitions de la courbure, du rayon de courbure, centre de courbure , cercle de courbre, développée.
• Formules de Frenet
• La pratique et ses exemples (ellipse, spirale logarithmique, chainette, cardioïde.

2.3 Premier théorème des fonctions implicites.
• énoncé, corollaire donnant l'équation d'une tangente.
• Exemple du cercle.

3. Surfaces
3.1 Surfaces paramétrées.
• Définitions
3.2 Surface définie par une équation cartésienne
• Deuxième théorème des fonctions implicites.
• Corollaire donnant l'équation d'un plan tangent.
3.3 Intersection de deux surfaces