PSI - mathématiques - Le cahier de texte 2008/2009

Chapitre 1: Espaces vectoriels et applications linéaires
• I. Somme directe de sous espaces vectoriels
  • Somme d'une famille finie de s.e.v : définition, prop, exemples
  • Somme directe de s.e.v : définition, méthode de démos, caractérisations, exemples
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• I.3 Sous espaces supplémentaires
• I.4 Cas de la dimension finie: caractérisation d'une somme directe, d'une décomposition en somme directe, notion de bases adaptées. Etude d'un exemple.

I.5 Utilisation d'une décomposition d'un espace vectoriel en somme directe

• Caractérisation d'une application linéaire


• Famille de projecteurs associée à une décomposition en somme directe

Autour de l'image et noyau d'une application linéaire

• Le théorème noyau-image


• Première application: le théorème du rang et ses corollaires

démonstration du corollaire: écriture matricielle par blocs d'une application linéaire

Suites récurrentes linéaires d'ordre p

II.2 Deuxième application: Les polynômes de Lagrange

• II.3 Les polynômes de Lagrange
• III Calcul matriciel par blocs
  • définition de matrices par blocs
  • produit de matrices par blocs,
  • exercice d'application
• IV Trace d'une matrice ou d'un endomorphisme
  • Définition de la trace d'une matrice carrée
  • propriétés usuelles

IV Trace d'un endomorphisme
• définition de la trace d'un endo
• la trace d'un projecteur est égal à son rang

V Dualité
• V.1 Espace dual
  • rappel de la définition d'une forme linéaire
  • définition de l'espace dual
  • Toute forme linéaire non nulle est surjective
• V.2 Hyperplan
  • définition d'un hyperplan
  • Caractérisation à l'aide du noyau d'une forme linéaire non nulle
  • Exemples
• V.3 Dualité en dimension finie
  • V.3.1 Hyperplan en dim finie
    • Caractérisation d'un hyperplan par la dimension
    • Equation d'un hyperplan
    • Exemples
  • V.3.2 Bases duales
    • dim E^*=dim E
    • Exo d'application

Chap 2: Déterminant

I. Le groupe symétrique

• I.1 Définition et structure de groupe


• I.2 Des permutations particulières: cycles et transpositions


• I.3 Décomposition en produit de transpositions


• I.4 Signature d'une permutation

II. Déterminant de n vecteurs
• II.1 Formes n linéaires alternées
• II.2 Déterminant de n vecteurs

III. Déterminant d'un endomorphisme

Déterminant d'une matrice carrée
• Définition et propriétés
• Méthodes pour calculer un déterminant
  • Les opérations élémentaires
  • Développement suivant une ligne ou colonne

Quatre exemples de calculs de déterminants utilisant le développement suivant une ligne ou une colonne

Applications du déterminant
• Caractérisation de bases
• Calcul de l'inverse d'une matrice par la comatrice

V3. Orientation d'un Rev

V4. Résolution des systèmes linéaires de Cramer

VI Quelques déterminants classiques
• VI. 1 Déterminants de matrices triangulaires par blocs
• VI. 2 Déterminants de Vandermonde

Chap 4: Réduction des endomorphismes

I. Sous espaces stables

II. Polynômes d'un endomorphisme.
• II.1 Structure d'algèbre

II.2 Polynômes d'endomorphisme.

II.3 Idéaux dans l'espace des polynômes.

II.4 Polynômes annulateurs

II.4 Polynômes annulateurs
• Exemple de recherche de polynôme minimal pour un projecteur
• tout endomorphisme en dim finie admet un polynôme minimal et K[u] est de dim m=degré du polynôme minimal
• Application au calcul de puissance de matrice avec l'étude d'un exemple.

Eléments propres
• Définitions et exemples
• Propriétés relatives aux éléments propres
• Polynôme caractéristique
  • Définitions
  • Premières propriétés

Polynôme caractéristique
• Ordre de multiplicité d'une valeur propre
• Théorème de Cayley Hamilton suivi de quelques applications

Réduction en dimension finie d'un endo ou d'une matrice carrée
• Diagonalisation
  • Généralités

Diagonalisation
• exemple de matrices diagonalisables ou non
• propriétés
• Caractérisation de la diagonalisation par les polynômes annulateurs
  • Théorème
  • Exemples d'application
  • Sous espaces stables par un endo. diagonalisable

Projecteurs spectraux
• définition, propriétés, exemple

Trigonalisation
• Définition et deux exemples

Applications à la réduction
• Calcul de puissances de matrice en se servant soit d'un polynôme annulateur, soit de la diagonalisation, soit de la trigonalisation
• Déterminer l'inverse d'une matrice
• Résolution des systèmes différentiels à coeffs constants

Deux exemples de résolution d'un système différentiels à coeffs constants

Système de suites récurrentes utilisant la réduction

Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Chap 4
• Normes
  • Définitions et exemples
    • définition d'une norme, inégalité de Minkowsky, distance, définition d'un produit scalaire, inégalité de Cauchy Schwarz, norme associée
    • Les exemples classiques

Normes équivalentes: des exemples de normes équivalentes en dim finie, puis de normes non équivalentes en dim infinie.

Applications lipschitziennes

Parties et applications bornées

Topologie d'un espace vectoriel normé
• Parties ouvertes et fermées: définitions et qques exemples

Topologie dans les e.v.n
• caractérisation séquentielle d'une partie fermée
• des exemples
• Point intérieur et adhérent: définition, prop premières, caractérisation séquentielle

Topologie dans un e.v.n
• Point intérieur et adhérent: des exemples, partie dense.

Espaces vectoriels normés de dimension finie
• Norme en dim finie: toutes les normes sont équivalentes
• Suites en dim finie
  • Suites convergentes: lien avec les suites coordonnées

Suites en dimension finie
• Toute suite de Cauchy est convergente : application à l'existence d'un point fixe d'une application contractante
• Relation de comparaison de suites

Etude locale d'une application
• Limites
  • Définition
  • Caractérisation séquentielle
  • Lien avec les applications coordonnées
  • Lien avec les applications partielles
  • Opérations algébriques

Continuité
• Continuité en un point
• Continuité sur une partie
• Image réciproque d'un ouvert et d'un fermé

Compacité

Continuité des applications linéaires et bilinéaires et normes subordonnées
• Continuité des applications linéaires et bilinéaires
• Norme subordonnée

Normes subordonnées: propriétés, exemples, généralisation sur l'espace des matrices

Chap: Séries numériques

• Généralités
  
  • Définitions et exemples importants
  
  
  • Premières propriétés: condition nécessaire de convergence et trois applications
  
  

Généralités
• Premières propriétés: struture d'espace vectoriel des séries numériques puis de s.e.v des séries convergentes, prop de Cauchy
• Relation entre séries et suites
• Convergence absolue Définition, prop, exemple de la série exponentielle
  • Produit de Cauchy

Produit de Cauchy
• application: relation sur les exponentielles

Cas particulier des séries de réels positifs
• Généralités: caractérisation; théorème de comparaison, nature des séries de Riemann
• Comparaison à une série à termes positifs
  • Utilisation du O ou o: prop, nature des séries de Bertrand, formule de Stirling

Séries Alternées

Chap 6: Suites et séries de fonctions
• Modes de convergences
  • Convergence simple
    • Convergence simple d'une suite de fonctions : déf, nombreux exemples
    • Convergence simple d'une série de fonctions : déf, nombreux exemples dont la fonction Zéta
  • Convergence uniforme
    • Convergence uniforme d'une suite de fonctions: déf, caractérisation, condition suffisante de non convergence uniforme, plan d'étude

Convergence uniforme des suites de fonctions: exemples

Convergence uniforme des séries de fonctions

Convergence normale des séries de fonctions

Exemples illustrant la convergence normale des séries de fonctions

Permutations de limites
• Continuité
• Théorème de double limite

Théorème de double limite
• Démonstration
• Enoncé pour les séries de fonctions
• Des Exemples

Approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment
• Premier Théorème de Weierstrass
• Une application

Dérivation et intégration sur un segment des fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles

Dérivation
• Définitions
• Opérations

Intégration sur un segment

• Subdivision d'un segment


• Intégration des fonctions en escalier
  
  • Rappels sur les fonctions en escalier
  
  
  • Intégration: définition et propriétés
  
  

Intégration des fonctions continues par morceaux
• Rappel sur les fonctions continues par morceaux
• Approximation d'une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier
• Intégrale d'une fonction continue par morceaux: définition et propriétés

Calcul différentiel, calcul intégral: le lien

• Primitives et théorème fondamental et ses corollaires (dérivation d'une fonction définie par une intégrale dont les bornes dépendent de la variable)

Accroissements finis
• Cas des fonctions à valeurs réelles: rappels de sup
• Cas des fonctions à valeurs dans un evn de dim finie
• Prolongement des fonctions de classe C^k

Suite et série de fonctions
• Intégration sur un segment: énoncés des théorèmes et exemples
• Dérivation:énoncés des théorèmes et exemple

Calcul intégral
• Intégration par partie
• Changement de variable

Formules de Taylor
• Formule de Taylor avec reste intégral et une application: obtenir un encadrement
• Inégalité de Taylor Lagrange et une application: développement en série de exp et sin
• Développement limité pour des fonctions vectorielles
  • Relations de comparaison pour des fonctions vectorielles
  • Développement limité
    • Définition
    • Relation entre DL d'une fonction et sa primitive puis sa dérivée
    • Formule de Taylor Young
    • Application: retour sur l'étude locale d'une courbe paramétrée

Intégrales impropres
• Généralités définitions, premières propriétés et exemples fondamentaux (les intégrales de Riemann)

Intégrales impropres des fonctions positives
• Caractérisation et ses corollaires, suivis d'exemples classiques tels que les intégrales de Bertrand et la fonction Gamma

Intégrales impropres des fonctions positives
• Fonction d'intégrale nulle
• Comparaison série- intégrales : application aux séries de Riemann et Bertrand

Intégrabilité sur un intervalle quelconque
• définition d'une fonction intégrable et d'une intégrale absolument convergente.
• Caractérisation par majoration
• f intégrable sur I implique son intégrale sur I est impropre convergente.
• Définition d'une intégrale semi-convergente: l'exemple de sin(t)/t
• Propriétés diverses sur l'espace des fonctions intégrables: linéarité, relation de chasles, th de comparaison, d'équivalence, th de changement de variables.

Espaces vectoriels normés de fonctions intégrables
• Normes
  • Norme de la convergence en moyenne
  • Norme de la convergence en moyenne quadratique
• Théorèmes de convergence
  • Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions: théorème + exemples
  • Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions: théorème + exemples

Intégrales dépendant d'un paramètre

• Données et objectifs du paragraphe


• Continuité


• Dérivabilité


• Exemples d'application: La fonction Gamma et le calcul de l'intégrale de Gauss

Définition - Rayon de convergence
• Définition d'une série entière
• Opérations sur les séries entières
• Rayon de convergence : definition, disque ouvert de convergence, nature d'une série entière dans son disque de convergence, lemme d'Abel, nature de la série à l'extérieur du disque

Calcul du rayon de convergence
• Différentes caractérisations
• Règle de d'Alembert pour les séries entières
• Relations de comparaisons

Propriété de la somme d'une série entière

• Continuité
  
  • Compléments sur les fonctions d'une variable complexe: continuité, convergences simple, uniforme et normale d'une série de fonctions d'une variable complexe.
  
  
  • Convergence normale d'une série entière


• Intégration


• Dérivabilité

Fonctions développables en série entière

• Définitions


• Séries de Taylor et CNS pour qu'une fonction soit développable en série entière

Développements en séries entières classiques
• Exponentielle et ses fonctions qui en dérivent: cos, ch,...
• Fonction x->(1+x)^a : présentation de la " méthode de l'équation différentielle "
• Fonction rationnelle

1. Espaces préhilbertiens réels
• 1.1 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
  • 1.1.1 Définitions
  • 1.1.2 Inégalité de Cauchy Schwarz
• 1.2 Produit scalaire
  • 1.2.1 Définition et conséquences
  • 1.2.2 Exemples classiques

2. Espaces préhilbertiens complexes
• 2.1 Formes sesquilinéaires hermitiennes
• 2.2 Produit scalaire
• 2.3 Exemples classiques

3. Orthogonalité
• 3.1 Définitions- Propriétés générales
• 3.2 Supplémentaires orthogonaux

3.3 Projecteur orthogonal sur un sev de dim finie
• Définition
• Expression à l'aide d'une b.o.n
• Exemple

3.4 Procédé d'orthonormalisation de Schmidt
• Théorème d'existence d'une famille orthogonale à partir d'une famille libre
• Méthode pratique sur un exemple

Distance d'un vecteur à un s.e.v : définition, propriétés, et exemple.

1. Rappels du chapitre précédent

2. Matrice d'un produit scalaire

3. somorphisme canonique d'un espace euclidien et son dual

4. Adjoint d'un endomorphisme
• 4.1 Définition

4.2 Endomorphisme autoadjoint

5. Groupe orthogonal d'un espace euclidien
• 5.1 Endomorphisme orthogonal
• 5.2 Matrices orthogonales
• 5.3 Orientation d'un espace vectoriel euclidien
• 5.4 Le groupe orthogonal d'un espace vectoeil euclidien de dim 2
  • 5.4.1 Description générale des éléments de O_2(R)
  • 5.4.2 Etude des rotations

5.4.3 Etude des réflexions

5.5 Groupe orthogonal en dim 3
• 5.5.1 Produit mixte - Produit vectoriel
• 5.5.2 Description du groupe orthogonal d'ordre 3

Exemples de recherche de nature et éléments caractéristiques de matrices orthogonales d'ordre 3

Réduction des endomorphismes autoadjoints
• Théorème spectral
• Réduction des formes bilinéaires symétriques
• Application: Réduction de coniques et de quadriques

Classification des coniques

Classification de quadriques

Des exemples

I. Espaces de fonctions 2Pi périodiques
• I.1 L'espace des fonctions continues et 2Pi périodiques
• I.2 L'espace des fonctions continues par morceaux et 2Pi périodiques
• I.3 L'espace des fonctions de classe C1 par morceaux et 2Pi périodiques

2. Coefficients et sommes de Fourier
• 2.1 Coefficients de Fourier exponentiels
• 2.2 Coefficients de Fourier trigonométriques
• 2.3 Sommes partielles de Fourier et Série de Fourier

Inégalité de Bessel et ses corollaires

Problèmes de convergence
• Des théorèmes d'approximation
• Convergence en moyenne quadratique : Théorème de Parseval

Convergence ponctuelle
• Théorème de convergence normale
• Théorème de Jordan-Dirichlet

Généralisation aux fonctions T périodiques

I. Equation linéaire vectorielle d'ordre 1
• Les différentes écritures et structure de l'ensemble des solutions
  • Ecriture vectorielle
  • Ecriture matricielle
  • Système différentiel

2. Etude théorique
• Théorème de Cauchy Lipschitz linéaire
• Le s.e.v S_H : système fondamental de solutions de H, wronskien et matrice wronskienne
• Méthode de la variation des constantes
• Cas particulier des systèmes homogènes à coefficients constants
• Equations différentielles scalaires: le problème des raccordements

2. Equations linéaires scalaires d'ordre 2
• 2.1 Généralités
• 2.2 Système différentiel d'ordre 1 associé
• 2.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz
• 2.4 Etude de l'équation homogène : système fondamental de solutions, wronskien
• 2.5 Equation différentielle linéaire d'ordre 2 à coeffs constants
• 2.6 Méthode de la variation des constantes
• 2.7 Des méthodes particulières
  • 2.7.1 Méthode de Lagrange
  • 2.7.2 Utilisation du développement en série entière
• 3. Notions sur les équations différentielles non linéaires

I. Fonctions continûment différentiables
• Différentielle en un point
• Dérivée selon un vecteur
• Dérivées partielles: définition