PSI - mathématiques - Le cahier de texte 2009/2010

I. Somme directe de s.e.v
I.1 Somme d'une famille finie de s.e.v
• définition
• propriété
• exemples
I.2 Somme directe
• définition
• méthode à utiliser
• Autres caractérisations

I. Somme directe de s.e.v
• I.2 Somme directe: exemples
• I.3 Sous-espaces supplémentaires: définition, exemple
• I.4 Cas de la dimension finie: caractérisation d'une somme directe, définition d'une base adaptée
• I.5 Utilisation d'une décomposition en somme directe
  • I.5.1 Caractérisation d'une application linéaire
  • I.5.2 Famille de projecteurs associée à une décomposition en somme directe: définition, prop, exemples

I.5.Utilisation d'une décomposition en somme directe
• I.5.3 Calcul matriciel par blocs

2. Autour de l'image et du noyau d'une application linéaire
• 2.1 Le théorème noyau-image
• 2.2 Le Théorème du rang et ses corollaires
• 2.3 Les polynômes de Lagrange

III Trace d'une matrice ou d'un endomorphisme

• 
  Définition de la trace d'une matrice carrée


• propriétés usuelles

I V Dualité

• IV.1 Espace dual


• IV.2 Hyperplans


• Dualité en dimension finie
  
  • Hyperplan en dim finie: équation
  
  
  • Bases duales
  
  
  • Bases antéduales

Chap 2: Déterminant

I. Le groupe symétrique

• I.1 Définition et structure de groupe


• I.2 Des permutations particulières: cycles et transpositions


• I.3 Décomposition en produit de transpositions


• I.4 Signature d'une permutation

II. Déterminant de n vecteurs
• II.1 Formes n linéaires alternées
• II.2 Déterminant de n vecteurs

II.2 Déterminant de n vecteurs : un exemple supplémentaire

III Déterminant d'un endomorphisme

IV Déterminant d'une matrice carrée

V. Applications des déterminants
• V.1 Caractérisation de bases
• V.2 Calcul de l'inverse d'une matrice
• V.4 Systèmes linéaires de Cramer

VI Quelques déterminants classiques
• Déterminants de matrices par blocs
• Déterminant de Vandermonde

I. Sous-espaces stables

II. Eléments propres
• II.1 Définitions et de nombreux exemples
• II.2 Propriétés relatives aux éléments propres.

II. Eléments propres
• II.3 Polynôme caractéristiques
  • II.3.1 Définition
  • II.3.2 Diverses propriétés
  • II.3.3 Ordre de multiplicité

III. Polynôme d'un endomorphisme
• III.1 Structure d'algèbre
• III.2 Définition des polynômes d'endomorphisme

III. Polynômes d'endomorphismes
• III. 3 Idéaux dans IK[X]
• III.4 Polynômes annulateurs
  • III.4.1 Définition avec une application au calcul des puissances de matrice
  • III.4.2 Polynômes annulateurs et valeurs propres.
  • III.4.3 Théorème de Cayley Hamilton
  • III.4.4 Polynôme minimal

IV Réduction en dimension finie d'un endomorphisme
• IV.1 Diagonalisation
  • IV.1.1 Généralités

IV 1 Diagonalisation
• IV 1 2 Caractérisation par un polynôme annulateur scindé à racines simples.
• IV 1 3 Projecteurs spectraux

IV. 2 Trigonalisation: définition, caractérisation et exemples

V. Applications à la réduction
• Puissances d'une matrice
• Calcul de l'inverse d'une matrice

Applications à la réduction
• Systèmes de suites récurrentes
• Systèmes différentiels à coefficients constants

Chap 4: Espaces vectoriels normés
• I. Normes
  • I.1 Des définitions et des exemples

Nature d'une suite d'éléments d'un evn
• Suites convergentes
• Suites de Cauchy
• Relation de comparaison

Applications lipschitziennes

Normes équivalentes

L'espace vectoriel normé des applications bornées

Topologie dans un espace vectoriel normé
• Parties ouvertes et fermées
• Points adhérents et intérieurs

VI Topologie dans un espace vectoriel normé
• VI.2 Points adhérents et intérieurs : caractérisations séquentielles - caractérisation d'un fermé par l'adhérence- définition d'une parte dense

VII Espaces vectoriels normés de dimension finie
• VII.1 Normes en dimension finie: toutes les normes sont équivalentes
• VII.2 Suites en dim finie
  • VII.2.1 Suites et suites coordonnées
  • VII.2.2 Suites de Cauchy en dim finie et application à l'existence et l'unicité d'un point fixe pour une application contractante

I. Limites
• I.1 Définition et exemple
• I.2 Caractérisation séquentielle et ses corollaires (avec exemples).
• I.3 Limite et applications coordonnées: définition des applications coordonnées, relation avec les limites et exemple.
• I.4 Limite et applications partielles: définition des applications partielles, relation avec les limites et exemple.
• I.5 Opérations algébriques.

II. Continuité
• II.1 Continuité en un point: définition, prolongement par continuité, opérations algébriques
• II.2 Continuité sur une partie: définition, opérations algébriques, exemples et applications
• II.3 Image réciproque d'un ouvert ou d'un fermé: rappel sur l'image réciproque, théorème, exemples

III. Compacité: définition en dim finie, image d'un compact par une application continue, lien avec la propriété analogue vue en PCSI

IV. Continuité des applications linéaires et bilinéaires.
• IV.1 Généralités

Norme subordonnée d'une application linéaire
• Définition
• Les différentes caractérisations
• Exemples
• Propriété
• Applications aux normes matricielles

I. Généralités
• I.1 Définitions et exemples
• I.2 Premières propriétés
• Relations entre suite et séries

I. Généralités
• I.4 Absolue convergence:
  • définition, abs conv implique conv., exemple: la série exponentielle
  • Produit de Cauchy: déf, propriété, et application : e^{z+z'}=e^z*e^z' et développement de cos en somme d'une série

II. Cas particulier des séries de réels positifs
• II.1 Convergence par majoration des sommes partielles
• II.2 Comparaison à une série à termes positifs
  • II.2.1 Comparaison par majoration-minoration : théorème et application aux séries de Riemann

II. 2 Comparaison à une série de réels positifs.
• II.2.2 Utilisation du o et O
• II.2.3 Utilisation de l'équivalent
• II.2.4 Critère de D'Alembert

III. Séries alternées

IV Applications des séries
• La Formule de Stirling
• Le développement décimal d'un réel positif

I. Modes de convergence
• I.1 Convergence simple
  • I.1.1 Convergence simple d'une suite de fonctions
  • I.1.2 Convergence simple d'une série de fonctions
• I.2 Convergence uniforme
  • I.2.1 Convergence uniforme d'une suite de fonctions

I.2.2 Convergence uniforme d'une série de fonctions

I.3 Convergence Normale d'une série de fonctions

II. Permutations de limites
• II.1 Continuité
  • Cas d'une limite d'une suite de fonctions
  • Cas d'une fonction somme d'une série de fonctions

II. Permutation de limites
• II.2 Théorème de double limite: énoncé et exemples d'application

III. Premier théorème de Weierstrass

Chap 8: Dérivation et intégration sur un segment des fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles

Dérivation
• Définitions
• Opérations
• Dérivées d'ordre supérieur

Difféomorphisme

Intégration sur un segment
• Subdivision d'un segment
• Intégration des fonctions en escalier sur un segment
  • Rappel sur les fonctions en escalier sur un segment
  • Intégrale d'une fonction en escalier: définition, propriété de linéarité, image par une application linéaire, inégalité de la moyenne
• Intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment
  • Fonctions continues par morceaux
  • Approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier

Intégration sur un segment et Dérivation des suites et séries de fonctions

Lien entre Dérivation et Intégration
• Primitives: théorème fondamental de l'intégration, dérivation d'une fonction définie par une intégrale.

Accroissements finis
• Cas des fonctions à valeurs réelles: rappels sur th de Rolle et Th des accroissements finis
• Cas des fonctions à valeurs vectorielles: contre exemple du th de Rolle, inégalité des accroissements finis
• Prolongement des fonctions de classe C^k

Calcul intégral
• Intégration par partie
• Changement de variable

Formules de Taylor
• Formule de Taylor avec reste intégral
• Inégalité de Taylor Lagrange

Développements limités
• Relation de comparaison
• Développements limités

Notion d'intégrales impropres
• Généralités: définition, exemples (exponentielles, ln, fonctions de Riemann)
• Intégrales impropres des fonctions positives
  • Caractérisation
  • Théorème de comparaison par majoration

Intégrales impropres des fonctions positives
• Théorèmes de comparaison: règle de o, O, équivalents
• Fonctions positives d'intégrale nulle
• Comparaison série-intégrale: théorème et application à la nature des séries de Riemann

Intégrabilité sur un intervalle quelconque
• Définition
• Toute intégrale absolument convergente est convergente: exemple d'une intégrale semi-convergente

Intégration sur un intervalle quleconque
• Propriété des fonctions intégrables
• Théorème de changement de variable

Espaces vectoriels normés de fonctions intégrables
• Norme de la convergence en moyenne
• Norme de la convergence en moyenne quadratique

Théorèmes de convergence
• Théorème de convergence dominée pour une suite de fonctions: théorème et un exemple d'application
• Théorème d' intégration terme à terme d'une série de fonctions: théorème et un exemple d'application

Intégrales dépendant d'un paramètre.
• Théorème de continuité: théorème et ses corollaires . L' exemple de la fonction Gamma

Dérivation d'une fonction définie par une intégrale à paramètre: énoncé et démonstration du théorème de Leibniz et ses corollaires. Application à la fonction Gamma et au calcul de l'intégrale de Gauss

Chap 10: Séries entières
• Définition d'une série entière; quelques exemples
• Opérations sur les séries entières
• Rayon de convergence
  • Définition et une première caractérisation: premiers exemples
    • Absolue-convergence dans le disque de convergence
    • Lemme d'Abel et son corollaire
    • Un exemple

Calcul du rayon de convergence
• Diverses caractérisations
• La règle de D'Alembert pour les séries entières
• Exemples
• Comparaisons de rayon de convergence: propriété et exemples
• Opérations et rayons de convergence: propriété et exemples

Propriétés de la somme d'une série entière
• Continuité:
  • Compléments sur les fonctions à variable complexe
  • Convergence normale des séries entières. Continuité de la somme
• Intégration
• Dérivabilité

Fonctions développables en série entière
• Définitions
• Séries de Taylor et CNS pour qu'une fonction soit développable en série entière
• Développements en séries entières classiques
  • Exponentielle et ses fonctions qui en dérivent: cos, ch,...
  • Fonction x->(1+x)^a : présentation de la " méthode de l'équation différentielle "
  • Fonction rationnelle

1. Espaces préhilbertiens réels
• 1.1 Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
  • 1.1.1 Définitions
  • 1.1.2 Inégalité de Cauchy Schwarz
• 1.2 Produit scalaire
  • 1.2.1 Définition et conséquences
  • 1.2.2 Exemples classiques

2. Espaces préhilbertiens complexes
• 2.1 Formes sesquilinéaires hermitiennes
• 2.2 Produit scalaire
• 2.3 Exemples classiques

3. Orthogonalité
• 3.1 Définitions- Propriétés générales

3. Orthogonalité
• 3.1 Définitions- Propriétés générales
• 3.2 Supplémentaires orthogonaux
• 3.3 Projecteur orthogonal sur un sev de dimension finie

3. Orthogonalité
• 3.4 Procédé d'orthonormalisation de Schmidt
• 3.5 Distance d'un vecteur à un s.e.v : définition, propriétés, et exemple.

1. Rappels du chapitre précédent

2. Matrice d'un produit scalaire

3. Isomorphisme canonique d'un espace euclidien et son dual

4. Adjoint d'un endomorphisme
• 4.1 Définition
• 4.2 Endomorphisme autoadjoint

5. Groupe orthogonal d'un espace euclidien
• 5.1 Endomorphisme orthogonal
• 5.2 Matrices orthogonales
• 5.3 Orientation d'un espace vectoriel euclidien
• 5.4 Le groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dim 2
  • 5.4.1 Description générale des éléments de O_2(R)
  • 5.4.2 Etude des rotations
  • 5.4.3 Etude des réflexions
  • 5.5 Groupe orthogonal en dim 3
    • 5.5.1 Produit mixte - Produit vectoriel
    • 5.5.2 Description du groupe orthogonal d'ordre 3
    • 5.5.3 Exemples de recherche de nature et éléments caractéristiques de matrices orthogonales d'ordre 3

Réduction des endomorphismes autoadjoints
• Théorème spectral
• Réduction des formes bilinéaires symétriques
• Application: Réduction de coniques et de quadriques
• Classification des coniques
• Classification de quadriques

I. Espaces de fonctions 2Pi périodiques
• I.1 L'espace des fonctions continues et 2Pi périodiques
• I.2 L'espace des fonctions continues par morceaux et 2Pi périodiques
• I.3 L'espace des fonctions de classe C1 par morceaux et 2Pi périodiques

2. Coefficients et sommes de Fourier
• 2.1 Coefficients de Fourier exponentiels
• 2.2 Coefficients de Fourier trigonométriques
• 2.3 Sommes partielles de Fourier et Série de Fourier

Inégalité de Bessel et ses corollaires

Problèmes de convergence
• Des théorèmes d'approximation
• Convergence en moyenne quadratique : Théorème de Parseval

Convergence ponctuelle
• Théorème de convergence normale
• Théorème de Jordan-Dirichlet

Généralisation aux fonctions T périodiques

I. Equation linéaire vectorielle d'ordre 1
• Les différentes écritures et structure de l'ensemble des solutions
  • Ecriture vectorielle
  • Ecriture matricielle
  • Système différentiel
• Etude théorique
  • Théorème de Cauchy Lipschitz linéaire
  • Le s.e.v S_H : système fondamental de solutions de H, wronskien et matrice wronskienne
  • Méthode de la variation des constantes
  • Cas particulier des systèmes homogènes à coefficients constants

2. Equations linéaires scalaires d'ordre 2
• 2.1 Généralités
• 2.2 Système différentiel d'ordre 1 associé
• 2.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz
• 2.4 Etude de l'équation homogène : système fondamental de solutions, wronskien
• 2.5 Equation différentielle linéaire d'ordre 2 à coeffs constants
• 2.6 Méthode de la variation des constantes
• 2.7 Des méthodes particulières
  • 2.7.1 Méthode de Lagrange

• 2.7.2 Utilisation du développement en série entière
• 3. Notions sur les équations différentielles non linéaires

Ce chapitre est particulièrement argumenté avec de nombreux exemples et exercices inclus dans le cours

1. Données et notations du chapitre

2. Limites et continuité

3. Calcul différentiel

• 3.1 Fonctions continûment différentiables
  
  • 3.1.1 Différentielle en un point
  
  

3.1 Fonctions continûment différentiables
• 3.1.2 Dérivée selon un vecteur


• 3.1.3 Dérivées partielles


• 3.1.4 Applications de classe C1

3.2 Opérations sur l'ensemble des applications de classe C1

• 3.2.1 L'espace vectoriel C1(U,F)


• 3.2.2 Composition


• 3.2.3 Applications du théorème de composition
  
  • 1. Applications coordonnées
  
  
  • 2. Dérivation

• 3.2.4 Matrice jacobienne
• 3.2.5 C1 Difféomorphisme

3.3 L'algèbre des fonctions numériques continûment différentiables
• 3.3.1 Structure d'algèbre.
• 3.3.2 Gradient
• 3.3.3 Accroissements finis
• 3.3.4 Extremum local
• 3.3.5 Dérivées partielles d'ordre supérieur à 2

I. Courbes paramétrées
I.1 Généralités: définitions d'un arc paramétré, d'un changement de paramètre admissible
I.2 Etude locale d'une courbe paramétrée
notion de point régulier, birégulier
I.3 Etude métrique d'une courbe paramétrée.
abscisse curviligne, longueur d'un arc, paramétrage normal
2. Coube plane
Repère de Frenet

• paramètre angulaire.
• Méthode pratique pour déterminer le repère de Frenet, et dérivée du paramètre angulaire à l'aide d'un paramètrage quelconque ou en polaire.

2.2.2 Courbure.
• définitions de la courbure, du rayon de courbure, centre de courbure , cercle de courbre, développée.
• Formules de Frenet
• La pratique et ses exemples (cycloïde, cardioïde).

2.3 Premier théorème des fonctions implicites.
• énoncé, corollaire donnant l'équation d'une tangente.
• Exemple du cercle.

3. Surfaces
3.1 Surfaces paramétrées.
• Définitions
3.2 Surface définie par une équation cartésienne
• Deuxième théorème des fonctions implicites.
• Corollaire donnant l'équation d'un plan tangent.
3.3 Intersection de deux surfaces

1. Champs de vecteurs et formes différentielles
définitions d'un champ de vecteurs, d'une forme différentielle.
justification des notations.
notions de forme différentielle exacte, fermée,.
partie étoilée, lien entre exacte et fermée.
2. Intégrales curvilignes
Définitions et exemples.
3. Intégrales doubles
3.1 Sur un pavé
3.2 Sur un compact élémentaire.
3.3 Changement de variables
4. Formule de Green Riemann: propriété et application au calcul d'aire.
5. Intégrales triples (à voir sur polycopié).