PSI - maths - Le cahier de texte 2010/2011

I. Somme directe de sous espaces vectoriels.
I.1 Somme d'une famille finie de s.e.v
I.2 Somme directe

I.3 Sous-espaces supplémentaires.
I.4 Cas particulier de la dimension finie.

I.5 Utilisation d'une décomposition en somme directe.
I.5.1 Caractérisation d'une application linéaire.
I.5.2 Famille de projecteurs associée à une décomposition en somme directe.

I.5.3 Calcul matriciel par blocs.
II. Autour de l'image et du noyau d'une application linéaire.
II.1 Théorème noyau-image

II.2 Le théorème du rang et ses corollaires
II.3 Les polynômes d'interpolation de Lagrange.
Existence

II.3 Les polynômes d'interpolation de Lagrange: définition- propriété.

III Trace d'un endomorphisme
• III.1 Trace d'une matrice carrée
• III.2 Trace d'un endomorphisme

I. Généralités
• I.1 Définitions- Exemples

I. Généralités
• I.1 Premières Propriétés
• I.2 Relations entre suites et séries

I. Généralités
• I.4 Absolue convergence
  • I.4.1 Définition et propriété
  • I.4.2 Produit de Cauchy

II. Cas particulier des séries de réels positifs
• II.1 Convergence par majoration des sommes partielles
• II.2 Comparaison à une série à termes positifs
  • II.2.1 Théorème de Comparaison
  • II.2.2 Utilisation de o ,O ou équivalent

II.2.3 Le critère de D'Alembert

Séries alternées

La formule de Stirling avec quelques applications

Chap 3: Les déterminants
• I. Le groupe symétrique
  • Définition et structure de groupe
  • Des permutations particulières: cycles et transpositions
  • Décomposition en produit de transpositions
  • Signature d'une permutation

II. Déterminant de n vecteurs
• Formes n-linéaires alternées
• Déterminant de n vecteurs

III Déterminant d'un endomorphisme

IV Déterminant d'une matrice carrée

Méthodes pour calculer un déterminant
• Opérations élémentaires sur colonnes et lignes
• Développement par rapport à une ligne ou colonne

VI Applications du déterminant
• Caractérisation de bases.
• Orientation d'un IR e.v
• Calcul de l'inverse d'une matrice
• Résolution des systèmes linéaires de Cramer

I. Une nouvelle structure algébrique: L'Algèbre

II. Définition des polynômes d' endomorphisme (resp: matriciels)

III. Idéaux de IK[X]

Polynômes annulateurs
• Définition - Exemples
• Applications: calcul des puissances nièmes et de l'inverse d'une matrice
• Polynôme minimal

propriété sur le polynôme minimal et illustration par un exemple

I Sous espaces stables

II. Eléments propres d'un endomorphisme ou d'une matrice
• II.1 Définitions et exemples

Exemples de recherche d'éléments propres

Propriétés relatives aux éléments propres

Polynôme caractéristiques : définition et premières propriétés

II.3 Polynôme caractéristique
• 3. Ordre de multiplicité
• 4. Théorème de Cayley Hamilton et ses applications

III. Réduction en dimension finie d'un endomorphisme
• III.1 Diagonalisation
  • III.1.1 Généralités

Trigonalisation : définition et exemples

Applications à la réduction
• Puissance d'une matrice
• Calcul de l'inverse

Applications à la réduction:
• Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
• Système différentiels à coefficients constants

I. Normes
• Définitions: normes, produit scalaire, inégalité de Cauchy Schwarz

I. Normes
• Exemples

II. Suites d'éléments d'un e.v.n
• Suites convergentes.
• Suites de Cauchy
• Relation de comparaison

III. Applications lipschitziennes

IV Normes équivalentes.

V L'espace vectoriel normé des applications bornées

Ce qu'il faut savoir sur les espaces vectoriels normés

VI Topologie d'un espace vectoriel normé
• Parties ouvertes et parties fermées.
• Points adhérents et points intérieurs

Espaces vectoriels de dimension finie
• Normes
• Suites d'éléments d'un e.v de dim finie
  • suites convergentes
  • suites de Cauchy

Limites
• Définition
• Caractérisation séquentielle
• Limite et applications coordonnées
• Limite et applications partielles>
• Opérations algébriques

Continuité
• Continuité locale
• Continuité sur une partie

Image réciproque d'un fermé , d'un ouvert par une application continue

Compacité

Continuité des applications linéaires et bilinéaires entre e.v de dim finie

Exemples d'application à la continuité des applications bilinéaires

Normes subordonnées

Espace dual
• définition des formes linéaires
• toute forme linéaire non nulle est surjective
• déf de l'espace dual

hyperplan
• def
• lien avec les formes linéaires

Dualité en dimension finie
• Hyperplan en dim finie

Bases duales

Bases antéduales

Modes de convergence
• Convergence simple
  • Convergence simple des suites de fonctions
  • Convergence simple des séries de fonctions
• Convergence uniforme
  • Convergence uniformes des suites de fonctions

Modes de convergence
• Convergence uniforme
  • Convergence uniformes des séries de fonctions
Convergence normale des séries de fonctions

Permutations de limites
• Continuité
• Théorème de double limite

Approximation uniforme sur un segment

I Généralités
• Définitions
• Interprétations
• Quelques propriétés

II. Opérations
• Somme, multiplication externe et composition
• Relation avec les applications coordonnées
• Action d'une application linéaire
• Action d'une application bilinéaire

Exemples d'application à l'action d'une application bilinéaire

Dérivées d'ordre supérieur

Difféomorphismes
• Rappels de PCSI
• C^n difféomorphismes

Subdivision d'un segment

Rappel sur les fonctions en escalier

Intégrale d'une fonction en escalier
• Définition
• Propriétés

Intégration des fonctions continues par morceaux sur un segment
• Fonctions continues par morceaux
• Approximation par des fonctions en escaliers
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux
• Propriétés en relation avec la linéarité

Voici des rappels sur les méthodes de calcul intégral vues en PCSI.

Intégration des fonctions continues par mrcx sur un segment
• Propriétés en relation avec la linéarité
• Relation de Chasles

Sommes de Riemann

Calcul différentiel et calcul intégral: le lien
• Primitives
• Accroissements finis Cas des fonctions à valeurs réelles: Rappels Cas des fonctions à valeurs dans un e.v.n de dim finie supérieure ou égale à 2

Prolongement des fonctions de classe C^k

Calcul Intégral
• Intégration par partie
• Changement de variables

Formules de Taylor

Développements limités
• Relations de comparaison
• Développements limités

Espaces préhilbertiens réels
• Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
  • Définitions
  • Inégalité de Cauchy Schwarz
• Produit scalaire
  • Définition et conséquences
  • Exemples Classiques

Espaces préhilbertiens complexes
• Forme sesquilinéaire hermitienne
• Produit scalaire
• Exemples classiques

Projecteur orthogonal sur un sev de dimension finie
Procédé d'orthonormalisation de Schmidt

Projecteur orthogonal sur un sev de dimension finie
Procédé d'orthonormalisation de Schmidt

distance d'un vecteur à un sous espace vectoriel

Intégrales impropres convergentes
• Généralités
• Intégrales impropres de fonctions positives
  • Caractérisation
  • Théorème de comparaison
  • Fonction d'intégrale nulle

Comparaison série intégrale

Intégrabilité sur un intervalle quelconque
• Définition
• Intégrale semi-convergente: un exemple
• critères de comparaison

Changement de variable

Espaces vectoriels normés de fonctions intégrables
• Norme de la convergence en moyenne
• Norme de la convergence en moyenne quadratique

Intégration sur un segment

Dérivation

Intégration sur un intervalle quelconque
• Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions
• Théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions

Théorème de continuité et exemple de la fonction de Gamma

Théorème de dérivabilité et exemple de la fonction de Gamma

Définition d'une séries entières

Opérations sur les séries entières

Rayon de convergence
• Définitions et une première caractérisation (disque de convergence, intervalle de convergence, lemme d'Abel, nature de la série à l'intérieur puis l'extérieur du siqne ou intervalle de convergence)
• Calcul du rayon de convergence
  • Diverses caractérisations

Calcul de rayon de convergence
• La règle de D'Alembert pour les séries entières
• Exemples
• Comparaison de rayons de convergence
• Opérations et rayons de convergence

Fonctions développables en série entière
• Définition
• Séries de Taylor
• Développements en série entière classiques

Développement en série entière en utilisant une équation différentielle

Développement en série entière des fonctions rationnelles: illustration par un exemple

Rappels du chapitre sur les espaces préhilbertiens
• Définition
• Existence d'une base orthonormée
• Supplémentaire orthogonal Projecteur orthogonal
• Distance d'un vecteur à un sev

Matrice du produit scalaire

Isomorphisme canonique d'un espace euclidien sur son dual

Adjoint d'un endomorphisme
• Définition de l'adjoint d'un endomorphisme
• Endomorphisme autoadjoint

Endomorphisme autoadjoint

Endomorphismes orthogonaux
• Définition
• Structure de O(E)
• Spectre d'un endo orthogonal, adjoint d'un endo orthogonal, stabilité

Matrices orthogonales

Orientation d'un espace euclidien

Le groupe orthogonal d'un e.v.e de dim 2

Groupe orthogonal en dimension 3
• Produit mixte - Produit vectoriel
• Description de O(3)

Théorème Spectral

Réduction des formes bilinéaires symétriques

Réduction de coniques et quadriques

Classification des coniques

Classification des quadriques

I. Espaces de fonctions 2Pi périodiques
• I.1 L'espace des fonctions continues et 2Pi périodiques
• I.2 L'espace des fonctions continues par morceaux et 2Pi périodiques
• I.3 L'espace des fonctions de classe C1 par morceaux et 2Pi périodiques

2. Coefficients et sommes de Fourier
• 2.1 Coefficients de Fourier exponentiels
• 2.2 Coefficients de Fourier trigonométriques
• 2.3 Sommes partielles de Fourier et Série de Fourier

Inégalité de Bessel et ses corollaires

Problèmes de convergence
• Des théorèmes d'approximation
• Convergence en moyenne quadratique : Théorème de Parseval

Convergence ponctuelle
• Théorème de convergence normale
• Théorème de Jordan-Dirichlet

Généralisation aux fonctions T périodiques

I. Equation linéaire vectorielle d'ordre 1
• Les différentes écritures et structure de l'ensemble des solutions
  • Ecriture vectorielle
  • Ecriture matricielle
  • Système différentiel

I. Equation linéaire vectorielle d'ordre 1
• Etude théorique
  • Théorème de Cauchy Lipschitz linéaire
  • Le s.e.v S_H : système fondamental de solutions de H, wronskien et matrice wronskienne
  • Méthode de la variation des constantes

I. Equation linéaire vectorielle d'ordre 1
• Cas particulier des systèmes homogènes à coefficients constants

2. Equations linéaires scalaires d'ordre 2
• 2.1 Généralités
• 2.2 Système différentiel d'ordre 1 associé
• 2.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz
• 2.4 Etude de l'équation homogène : système fondamental de solutions, wronskien
• 2.5 Equation différentielle linéaire d'ordre 2 à coeffs constants

2. Equations linéaires scalaires d'ordre 2
• 2.6 Méthode de la variation des constantes
• 2.7 Des méthodes particulières
  • 2.7.1 Méthode de Lagrange

Ce chapitre est particulièrement argumenté avec de nombreux exemples et exercices inclus dans le cours

1. Données et notations du chapitre

2. Limites et continuité

3. Calcul différentiel

• 3.1 Fonctions continûment différentiables
  
  • 3.1.1 Différentielle en un point
  
  
  • 3.1.2 Dérivée selon un vecteur
  
  
  • 3.1.3 Dérivées partielles

3.2 Opérations sur l'ensemble des applications de classe C1

• 3.2.1 L'espace vectoriel C1(U,F)


• 3.2.2 Composition


• 3.2.3 Applications du théorème de composition
  
  • 1. Applications coordonnées

• 3.2.3 Applications du théorème de composition
  • 2. Dérivation

• 3.2.4 Matrice jacobienne

• 3.2.5 C1 Difféomorphisme

3.3 L'algèbre des fonctions numériques continûment différentiables
• 3.3.1 Structure d'algèbre.

I. Courbes paramétrées
• I.1 Généralités: définitions d'un arc paramétré, d'un changement de paramètre admissible
• I.2 Etude locale d'une courbe paramétrée notion de point régulier, birégulier
• I.3 Etude métrique d'une courbe paramétrée. abscisse curviligne, longueur d'un arc, paramétrage normal

2. Coube plane
• Repère de Frenet
• Paramètre angulaire.
• Méthode pratique pour déterminer le repère de Frenet, et dérivée du paramètre angulaire à l'aide d'un paramètrage quelconque ou en polaire.
Courbure
• définitions de la courbure, du rayon de courbure, centre de courbure , cercle de courbure, développée.
• Formules de Frenet

2.3 Premier théorème des fonctions implicites.
• énoncé, corollaire donnant l'équation d'une tangente.
• Exemple du cercle.

3. Surfaces
3.1 Surfaces paramétrées.
• Définitions
3.2 Surface définie par une équation cartésienne
• Deuxième théorème des fonctions implicites.
• Corollaire donnant l'équation d'un plan tangent.
3.3 Intersection de deux surfaces

1. Champs de vecteurs et formes différentielles
définitions d'un champ de vecteurs, d'une forme différentielle.
justification des notations.
notions de forme différentielle exacte, fermée,.
partie étoilée, lien entre exacte et fermée.
2. Intégrales curvilignes
Définitions et exemples.
3. Intégrales doubles
3.1 Sur un pavé
3.2 Sur un compact élémentaire.
3.3 Changement de variables
4. Formule de Green Riemann: propriété et application au calcul d'aire.
5. Intégrales triples (à voir sur polycopié).