Catégorie : Mathématiques PC 2015-2016

Maths PC : semaine 23 du 14/03 au 18/03

Chapitre 18  : Equations aux dérivées partielles

I) Rappels sur les fonctions de plusieurs variables

Dérivées partielles, la classe $latex \mathcal{C}^1$, la classe $latex \mathcal{C}^2$. Théorème de Schwarz.

Dérivation de fonctions composées.

II) Equations aux dérivées partielles.

  1. Ordre 1
    Résolution de $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}=\tilde{0}$, résolution de $latex \dfrac{\partial f}{\partial x}=g(x,y)$ à l’aide du théorème fondamental du calcul intégral. $latex h(x,y)=h(x_0,y)+\int_{x_0}^{x}\dfrac{\partial h}{\partial x}(u,y)\mathrm{d}u=h(x_0,y_0)+
    \int_{y_0}^{y}\dfrac{\partial h}{\partial y}(x_0,v)\mathrm{d}v+\int_{x_0}^{x}\dfrac{\partial h}{\partial x}(u,y)\mathrm{d}u$
  2. Ordre 2
    Résolution de $latex \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\tilde{0}$, résolution de $latex \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\tilde{0}$
  3. Via un changement de variable
    Cas d’un changement de variable affine. Cas d’un changement de variable en polaires.
  4. Applications en physique : équation de la chaleur. Cordes vibrantes.

Exercices 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 TD_edp_15_16

 

Maths PC : semaine 22 du 07/03 au 11/03

exercices : arcs paramétrés : 6,7, 9, 12, 3, 10

Application : trajectoires planes d’un système différentiel : exos 16, 17

Chapitre 17  : Surfaces, gradient et extremums

I) Surface, plan tangent

Développement limité d’ordre 1.

Plan tangent à une surface d’équation $latex f(x,y,z)=0$ ou d’équation $latex z=g(x,y)$.

Visualisation avec Python.

II) Extremums.

Définitions : maximum ou minimum global, maximum ou minimum local

Pour $latex g:(x,y)\mapsto g(x,y)$ de classe $latex C^1$, condition nécessaire d’extremum à l’aide des dérivées partielles.

Toute fonction continue sur un fermé borné de $latex \mathbb{R}^2$ et à valeurs réelles y est bornée et atteint ses bornes.

III) Courbes sur une surface

Vecteur vitesse et plan tangent.Lignes de niveau.

TD_cdiff_15_16

Maths PC : semaine 21 du 29/02 au 04/03

Chapitre 15 (suite) :

Covariance, coefficient de régression linéaire. Interprétation en lien avec la pratique de la régréssion linéaire dans les autres disciplines.

exercices du chapitre 15 :  18.b), 5, 3, 17, 4

Chapitre 16  : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

I) Dérivation d’une fonction vectorielle

II) Arcs paramétrés.

Paramétrisations régulières, vecteur vitesse.

Méthode d’étude d’un arc paramétré.

III) Compléments sur la dérivation

Dérivation et linéarité, dérivation et bilinéarité

Tangente à une courbe plane, équation cartésienne.

exercices du chapitre 16 : 1, 2, 5,…

TD_arcs_param_15_16

Maths PC : semaine 20 du 22 au 28/02

Chapitre 15 (suite) :

2ème  Inégalité de Markov $latex \forall t>0,\ \mathbf{P}[\vert X\vert\ge t]\le\frac{\mathbb{E}[X^2]}{t^2}$
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev $latex \forall \varepsilon>0,\ \mathbf{P}[\vert X-\mathbb{E}[X]\vert\ge \varepsilon]\le\frac{\mathbb{V}[ X]}{\varepsilon^2}$
Loi faible des grands nombres :$latex \mathbf{P}\left(\left\vert\frac{1}{n}S_n-m\right\vert\geqslant\varepsilon\right)\xrightarrow[n\to\infty]{}0.$
Série génératrice   $latex G_X:t \mapsto \mathbb{E}[t^X]=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbf{P}[X=k]t^k$

Dans le cas d’une loi à valeurs dans $latex \mathbb{N}$ telle $latex \mathbb{E}(X^2)$ existe
, alors $latex \mathbb{E}[X]=G_X'(1)$ et$latex \mathbb{V}[X]=G_X »(1)+G_X'(1)-(G_X'(1))^2 $
Application au calcul des variances ou espérances des lois usuelles :  pour les lois $latex b(p)$, $latex \mathcal{B}(N,p)$, $latex \mathcal{P}(\lambda)$, $latex \mathcal{G}(p)$
Série génératrice d’une somme finie de variables indépendantes.

La loi géométrique est sans mémoire.Somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson.  Approximation binomiale-Poisson

exercices 7, 6, 2, 15, 12, 1, 11, 13, 8, 18.a)

Maths PC : semaine 19 du 01 au 06/02

Chapitre 14 : Endomorphismes symétriques

Endomorphisme symétrique d’un espace euclidien. matrice dans une base orthonormée.

Les valeurs propres d’un endomorphisme symétrique (resp. d’une matrice symétrique réelle) sont réelles.

Théorème spectral : tout endomorphisme symétrique est à valeurs propres réelles et est diagonalisable dans une base orthonormée.

Théorème spectral : toute matrice  symétrique réelle est à valeurs propres réelles et est diagonalisable via une matrice de passage orthogonale.

Attention : le résultat n’est pas valable pour une matrice complexe

ch.14 : exercices 2, 4, 8, 6, 9

Chapitre 15 : Suites de variables aléatoires

Espérance d’une variable aléatoire discrète. Théorème de Transfert (admis). Propriété de l’espérance : linéarité, positivité, croissance. Espérance d’un produit de variables indépendantes.

Première inégalité de Markov.

Variance. Variance d’une somme. $latex \mathbb{V}(aX+b)=a^2 \mathbb{V}(X)$. Variance d’une somme de variable indépendantes.