Catégorie : Mathématiques PC 2018-2019

Semaine 16 du 14/01 au 18/01

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine du 15 janvier 2019 : 15_prog_EDL_sym_DSE


II) Séries entières de la variable réelle
Ouvert de convergence, continuité de la somme, intégration terme à terme

exercice(s) 1, 8


Dérivation terme à terme. Fonctions DSE, unicité du DSE et série de Taylor.

exercice(s)

 


DSE usuels et série géométrique. Utilisation d’équations différentielles.

exercice(s)


DSE usuels et série exponentielle.

exercice(s)

Documents distribués : TD_serie_ent

 

 

Semaine 15 du 07/01 au 11/01

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine du 14 janvier 2019 : 14_prog_EDL_isom_sym


III) Endomorphysmes symétriques
Définition. matrice dans une base orthonormale. Théorème spectral.

exercice(s) 10, 20



exercice(s)

 


Chapitre XI : Séries entières.
I) Notations, définitions
Rayon de convergence.

exercice(s)


Lemme d’Abel. Série entière géométrique, série entière exponentielle. Rayon de convergence et comparaison.

exercice(s)

Devoir maison n°9 pour le 16/01 :

Documents distribués : TD_serie_ent

 

 

Semaine 14 du 17/12 au 21/12

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine du 07 janvier 2019 :13_prog_EDL_isom13_prog_EDL_isom


II) Isométries.
Définition, conservation du produit scalaire ou de la norme associée. Effet sur une base orthonormée. Exemples. Sous espace stable, stabilité de son orthogonal par une isométrie.

exercice(s) 1, 2, 7


Réflexions. Matrices orthogonales.

exercice(s)

 


Groupe orthogonal.

exercice(s) 6, 8


Groupe spécial orthogonal.

exercice(s)

Devoir maison n°8 pour le 07/01 :

Documents distribués : cours_isom_endsym

 

 

Semaine 13 du 10/12 au 14/12

Programme de colles de la semaine à venir

attention : pas de colles de sciences la semaine du 17/12 au 21/12 : salon des grandes écoles


Problème de Cauchy. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.  Structure de l’ensemble des solutions.
III) Equations différentielles d’orde 2.
Structure de l’ensemble des solutions, Cauchy-Lipschitz linéaire.

exercice(s) 9, 13


IV) Méthode d’Euler.Rappels, notations. Lien avec la physique, simulations Python.

exercice(s) 12, 11

 


exercice(s) 6, 8


Chapitre X : Isométries, endomorphismes symétriques.
I) Rappels euclidiens
Famille orthogonale, orthonormale, somme directe orthogonale. Formules dans une base orthonormée.

exercice(s) 1

Devoir Surveillé n°4 le 15/12 :

Documents distribués : TD_ediff_lin

 

 

Semaine 12 du 03/12 au 07/12

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 10/12 au 15/12 : 12_prog_serfonct_EDL


exercice(s) 15, 8, 5


Chapitre IX : Equations différentielles

Introduction : importance pour la physique et la chimie, exemples et modèles.

I) Rappels de PCSI

Equations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2.

exemples

II) Systèmes différentiels.

Dérivation vectorielle. Résolution des systèmes différentiles linéaires à coefficients constants, dans le cas diagonal ou diagonalisable. Structure de l’ensemble des solutions.

exercice(s) 1, 2, 3, 5

Devoir libre n°7 pour le 28/11 : dm07


Problème de Cauchy linéaire.

exercice(s) 6, 8

Documents distribués : TD_ediff_lin

 

 

Semaine 11 : du 26/11 au 30/11

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 03/12 au 07/12 : 11_prog_probas_serfonct


Chapitre VIII : Séries de fonctions
I) Convergence

1) Convergence simple d’une série de fonctions.

Définition, notations. exemples : utilisation de séries numériques usuelles, serie exponentielle, fonction dzêta de Riemann

2) Convergence uniforme d’une série de fonctions.

Simulations Python

exercice(s) 9


3 ) Convergence normale.

Lien entre les différentes notions de convergence.

II) Propriétés de la somme

1) Théorème de continuité de la somme.

exercice(s) 7, 1, 11, Pb1 : début


2) Intégration terme à terme sur un segment ou sur un intervalle quelconque.

3) Dérivation terme à terme, cas de dérivations successives.

exercice(s) Pb1 : fin, 8, 13

Devoir libre n°6 pour le 28/11: dm06


Cas dénombrable. Exemples

exercice(s) 18, 20

Documents distribués : TD_ser_fonct

 

 

Semaine 10 : du 19/11 au 23/11

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 26/11 au 30/11 : 10_prog_reduc_probas


III) Evènements et modélisation

1) Conditionnement et indépendance :

probabilités conditionnelles. Formule des probabilités composées. Indépendance 2à 2, indépendance mutuelle. Système complet dévènements, formule des probabilités totales.

exercice(s) 17, 2.1


Formule de Bayes.

2 ) Evènements asymptotiques :

continuité croissante ou décroissante, sous-additivité.

exercice(s) 2(fin), 1


IV) Variables aléatoires discrètes

Cas fini : définition, notation, loi.

exercice(s) 10, 14

Devoir libre n°5 pour le 21/11: dm05


Cas dénombrable. Exemples

exercice(s) 18, 20

Documents distribués : TD_esp_proba_var

 

 

Semaine 9 : du 12/11 au 16/11

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 19/11 au 23/11 : 09_prog_reduc_proba


Chapitre VI : Réduction.

IV) Applications

1) Calcul des puissances.

Dans le cas diagnalisable, dans le cas trigonalisable.
2) Systèmes de suites récurrentes linéaires, à coefficients constants.
exercice(s) 8, 13, 14


3 ) Suites récurrentes linéaires d’ordre p, à coefficients constants.

exercice(s) 18, 26, 2


exercice(s)  3 (réduction), 11, 16

Chapitre VII : Espaces probabilisés

I) Modèle probabiliste

Ensembles dénombrables. Formalisme des espaces probabilisés.


II) Lois usuelles

Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson,uniforme

exercice(s) 15, 6.1, 13
Devoir surveillé n°3 le 16/11, sujet B : DS3 ; sujet B : DS3_Centrale

Documents distribués : TD_esp_proba_var

 

 

Semaine 8 : du 05/11 au 09/11

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 12/11 au 16/11 : 08_prog_suitfonc_reduc


Chapitre VI : Réduction.

I) Eléments proprs

I.1) Sous-espaces stables, droites stables

Rappels

I.2) Eléments propres d’un endomorphisme ou d’une matrice

Vecteurs propres, valeurs propres, sous espaces propres. Spectre.

I.3) Polynôme caractéristique

Définition, degré. Lien avec les valeurs propres.

exercice(s) 4(a) ; à chercher pour mardi : 4(b)

Devoir maison n°4 pour le 05/10 : dm04


Lien avec la trace et le déterminant lorsque le polynôme caractéristique est scindé.

exercice(s) 4(b), 9, 10, 12


II) Diagonalisation.
Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité.

exercice(s) 5, à chercher pour vendredi 7


Cas d’un polynôme caractéristique scindé à racines simples.

III) Trigonalisation.

exercice(s) 5, 8.1

Documents distribués : TD_reduction

 

 

Semaine 7 : du 15/10 au 19/10

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 05/11 au 09/11 : 07_prog_snum_suitfonc


Chapitre V : Suites de fonctions.

I) Convergence d’une suite de fonctions

I.1) Convergence simple (point par point)

Définition, exemples, simulations avec Python.

I.2) Convergence uniforme (en norme infinie)

Définition, exemples, simulations avec Python. Lien avec la cobnvergence simple.

exercice(s) 6 ; à chercher pour mardi : 8

Devoir maison n°3 pour le 15/10 : dm03


II) Propriétés de la lmite

II.1) Théorème de continuité de la limite uniforme.

II.2) Interversion limite-intégrale sur un segment en cas de convergence uniforme. Théorème de convergence dominée.

exercice(s) 8, 1, 4(début)


II.3) Dérivation de la limite.

exercice(s) 4, 15, 11, 5, 18


Généralisation aux dérivées successives.

exercice(s) 9, 23, 10

Documents distribués : TD_suites_fonct