Catégorie : Mathématiques PC 2018-2019

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 10/12 au 15/12 : 12_prog_serfonct_EDL

---

exercice(s) 15, 8, 5

---

Chapitre IX : Equations différentielles

Introduction : importance pour la physique et la chimie, exemples et modèles.

I) Rappels de PCSI

Equations différentielles linéaires d’ordre 1 ou 2.

exemples

II) Systèmes différentiels.

Dérivation vectorielle. Résolution des systèmes différentiles linéaires à coefficients constants, dans le cas diagonal ou diagonalisable. Structure de l’ensemble des solutions.

exercice(s) 1, 2, 3, 5

Devoir libre n°7 pour le 28/11 : dm07

---

Problème de Cauchy linéaire.

exercice(s) 6, 8

Documents distribués : TD_ediff_lin

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 03/12 au 07/12 : 11_prog_probas_serfonct

---

Chapitre VIII : Séries de fonctions
I) Convergence

1) Convergence simple d’une série de fonctions.

Définition, notations. exemples : utilisation de séries numériques usuelles, serie exponentielle, fonction dzêta de Riemann

2) Convergence uniforme d’une série de fonctions.

Simulations Python

exercice(s) 9

---

3 ) Convergence normale.

Lien entre les différentes notions de convergence.

II) Propriétés de la somme

1) Théorème de continuité de la somme.

exercice(s) 7, 1, 11, Pb1 : début

---

2) Intégration terme à terme sur un segment ou sur un intervalle quelconque.

3) Dérivation terme à terme, cas de dérivations successives.

exercice(s) Pb1 : fin, 8, 13

Devoir libre n°6 pour le 28/11: dm06

---

Cas dénombrable. Exemples

exercice(s) 18, 20

Documents distribués : TD_ser_fonct

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 26/11 au 30/11 : 10_prog_reduc_probas

---

III) Evènements et modélisation

1) Conditionnement et indépendance :

probabilités conditionnelles. Formule des probabilités composées. Indépendance 2à 2, indépendance mutuelle. Système complet dévènements, formule des probabilités totales.

exercice(s) 17, 2.1

---

Formule de Bayes.

2 ) Evènements asymptotiques :

continuité croissante ou décroissante, sous-additivité.

exercice(s) 2(fin), 1

---

IV) Variables aléatoires discrètes

Cas fini : définition, notation, loi.

exercice(s) 10, 14

Devoir libre n°5 pour le 21/11: dm05

---

Cas dénombrable. Exemples

exercice(s) 18, 20

Documents distribués : TD_esp_proba_var

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 19/11 au 23/11 : 09_prog_reduc_proba

---

Chapitre VI : Réduction.

IV) Applications

1) Calcul des puissances.

Dans le cas diagnalisable, dans le cas trigonalisable.
2) Systèmes de suites récurrentes linéaires, à coefficients constants.
exercice(s) 8, 13, 14

---

3 ) Suites récurrentes linéaires d’ordre p, à coefficients constants.

exercice(s) 18, 26, 2

---

exercice(s)  3 (réduction), 11, 16

Chapitre VII : Espaces probabilisés

I) Modèle probabiliste

Ensembles dénombrables. Formalisme des espaces probabilisés.

---

II) Lois usuelles

Bernoulli, binomiale, géométrique, de Poisson,uniforme

exercice(s) 15, 6.1, 13
Devoir surveillé n°3 le 16/11, sujet B : DS3 ; sujet B : DS3_Centrale

Documents distribués : TD_esp_proba_var

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 12/11 au 16/11 : 08_prog_suitfonc_reduc

---

Chapitre VI : Réduction.

I) Eléments proprs

I.1) Sous-espaces stables, droites stables

Rappels

I.2) Eléments propres d’un endomorphisme ou d’une matrice

Vecteurs propres, valeurs propres, sous espaces propres. Spectre.

I.3) Polynôme caractéristique

Définition, degré. Lien avec les valeurs propres.

exercice(s) 4(a) ; à chercher pour mardi : 4(b)

Devoir maison n°4 pour le 05/10 : dm04

---

Lien avec la trace et le déterminant lorsque le polynôme caractéristique est scindé.

exercice(s) 4(b), 9, 10, 12

---

II) Diagonalisation.
Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité.

exercice(s) 5, à chercher pour vendredi 7

---

Cas d’un polynôme caractéristique scindé à racines simples.

III) Trigonalisation.

exercice(s) 5, 8.1

Documents distribués : TD_reduction

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 05/11 au 09/11 : 07_prog_snum_suitfonc

---

Chapitre V : Suites de fonctions.

I) Convergence d’une suite de fonctions

I.1) Convergence simple (point par point)

Définition, exemples, simulations avec Python.

I.2) Convergence uniforme (en norme infinie)

Définition, exemples, simulations avec Python. Lien avec la cobnvergence simple.

exercice(s) 6 ; à chercher pour mardi : 8

Devoir maison n°3 pour le 15/10 : dm03

---

II) Propriétés de la lmite

II.1) Théorème de continuité de la limite uniforme.

II.2) Interversion limite-intégrale sur un segment en cas de convergence uniforme. Théorème de convergence dominée.

exercice(s) 8, 1, 4(début)

---

II.3) Dérivation de la limite.

exercice(s) 4, 15, 11, 5, 18

---

Généralisation aux dérivées successives.

exercice(s) 9, 23, 10

Documents distribués : TD_suites_fonct

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 15/10 au 19/10 : 06_prog_trace_snum

Séries exponentielles. Lien avec la fonction exponentielle réelle via la formule de Taylor avec reste intégral. Critère spécial des séries alternées, avec majoration du reste.

exercice(s) 4d)

---

Enoncé de la formule de Stirling.

exercice(s) intégrales de Wallis 12.A

---

TD Formule de Stirling

exercice(s) 12.B, 8

---

Produit de Cauchy. Appliation aux séries exponentielles.

exercice(s) 10

Documents distribués : TD_ser_num

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 08/10 au 13/10 : 05_prog_ev_snum

Traces. Propriétés.

exercice(s) 6

---

Espace vectoriel produit.

exercice(s) 17, 18

---

Chapitre IV : Séries numériques.

A) Rappels de PCSI

Sommes partielles, nature d’une série. Grossière divergence. Séries géométriques. Séries de Riemann. Absolue convergence. Théorèmes de comparaison.

exercice(s) 2, 3

---

Théorème comparaison série-intégrale. Sommes partielles de la série harmonique et constante gamma d’Euler.

exercice(s) 4a),4b),4c)

Devoir maison n°2 pour le 05/10 : dm02

Documents distribués : TD_ser_num

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 01/10 au 05/10 : 04_prog_intgen_ev

Chapitre III : Espaces vectoriels, endomorphismes, déterminants et traces.

1) Rappels de PCSI

Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Sommes, sommes directes de deux s.-e.v., supplémentaires.

2) Sommes de plusieurs sous-espaces vectoriels.

exercice(s) 1 ; à chercher pour le 24/09 : exercice 4

---

3) Matrices par blocs, sous-espaces stables, endomorphismes induits.

Sous-espaces stables, endomorphismes induits. Cas de deux endomorphismes qui commutent. Ecritures matricielles par blocs.

exercice(s) 4, …

---

3) Rappels de PCSI : déterminants, propriétés.

Déterminants par blocs.

 

exercice(s) 5, 2, 8  ; à chercher pour le 28/09 : exercices 9, 10

---

 Déterminants de Vandermonde.

exercice(s) 9, 10, 12, 13

---

Devoir surveillé n°II, durée 4h : sujet A e3a/CCP : DS2 ; sujet B Mines-Centrale : DS2_Mines

Documents distribués : TD_EV_AL_18_19

Programme de colles de la semaine à venir

colles de la semaine du 24/09 au 28/09 : 03_prog_intgen

Théorème de comparaison.

exercice(s) 2, 6.1 ; à chercher pour le 18/09 : exercice 6.2

---

Propriétés : linéarité, changement de variables, intégration par parties, relation de Chasles.

exercice(s) 6.2, 10, 8, 9

---

Espace vectoriel des fonctions intégrables.

exercice(s) 14, 16, 

---

Espace vectoriel des fonctions de carrés intégrables.

exercice(s) 17, 19

 

Documents distribués : TD_int_generalisees_18_19